Як сформулювати матрицю згущеної маси в ФЕМ

При вирішенні залежних від часу PDE, використовуючи метод кінцевих елементів, наприклад скажімо рівняння тепла, якщо ми використовуємо явний кроковий час, тоді нам доведеться розв’язувати лінійну систему через матричну масу. Наприклад, якщо ми дотримуємось прикладу рівняння тепла,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

то за допомогою вперед Ейлера ми отримуємо

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

таким чином, навіть якщо ми використовуємо чітку схему кроку в часі, нам все ж належить вирішити лінійну систему. Це, очевидно, головна проблема, оскільки головна перевага використання явних схем - НЕ доведеться вирішувати лінійну систему. Я читав, що поширений спосіб подолати цю проблему полягає в тому, щоб замість цього використовувати "згуртовану" матрицю маси, яка перетворює регулярну (послідовну?) Матрицю маси в діагональну матрицю і, таким чином, робить інверсію тривіальною. Виконуючи пошук в Google, я все ще не зовсім впевнений, як створюється ця згуртована матриця маси. Наприклад, дивлячись на папері НОМЕРИЧНІ ДОСВІДИ НА МАССЬКОМУ СВІТЛЕННІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ДИФУЗІЇ РОЗМІСТУЕдсон Вендленд Гаррі та Едмар Шульц вони створюють свою матрицю згущеної маси, просто підсумовуючи всі коефіцієнти по діагоналі. Наприклад, якщо наша первісна послідовна матриця маси була:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

тоді матриця згущеної маси буде такою:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Моє запитання тоді: чи це правильний спосіб формування матричної матриці? Які недоліки існують при використанні матриці згущеної маси замість повної послідовної матриці маси з точки зору точності? Автори статті, про яку я згадував, насправді запропонували не використовувати матричну матричну масу, хоча, здавалося, вони використовують лише неявну схему крокового часу, що, на мою думку, було дивним, оскільки головна причина використання таких матриць - це явні методи.

Примітка: Я ніколи не використовував би Ейлера вперед для вирішення рівняння теплоти, це був лише приклад. Крім того, якщо це має значення, моя проблема полягає у вирішенні рівнянь Нав'є Стокса, де нелінійний термін трактується явно, а термін дифузії трактується неявно.

Дякую

finite-element time-integration navier-stokes

— Джеймс
джерело

O (n^{2})

$O(n^{2})$

Так, я міг би зробити це, якби я використовував прямий вирішувач, але якщо я використовую PCG або інший ітеративний вирішувач, я не думаю, що це допоможе

— Джеймс

Я особисто не довіряю масові грудочки математично. Обчислено, це не дає вам жодних переваг, якщо ви не прагнете до явного кроку в часі, і в цьому випадку діагональна матриця маси значно спрощує рішення. Якщо ви використовуєте неявний метод ступінчастості часу, ви не отримуєте жодної розрідженості в матриці. Я думаю, що ви лише отримуєте помилку на той момент, не використовуючи послідовну матрицю.

— Пол

Я здивований, що ніхто не згадав про метод Фріда і Маркуса (1975) для чотирикутників, який використовує вузли в точках Лобата, щоб уникнути втрати помилки усікання. Це не проблема, поки ви не дістанетесь до кубіків, але виключає елементи серединності. Ідея поширилася на трикутники, але вимагає спеціальної основи та квадратури.

— Л. Янг

Я не думаю, що на це є однозначна відповідь, оскільки це може змінюватися від однієї теми до іншої (а також залежить від типу елементів, які ви використовуєте). Про це також говорять деякі останні документи [2]. Отже, це не закрита дискусія. Крім того, у вас можуть бути різні інерційні компоненти (принаймні в механіці), коли у вас є елементи з кінематичними обмеженнями у вигляді балок або оболонок.

Зієнкевич (Див. [1], розділ 16.2.4) обговорив три методи збивання матричної маси

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

Не всі методи працюють у всіх випадках, наприклад, метод суми рядків не працює для 8-вузлових елементів серединпіті, оскільки це призведе до негативних мас.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

Я також використовував метод 3 з так званими методами спектральних елементів з вузлами Лобата (використовуючи ці локації як вузли та точки інтеграції), які автоматично призводять до діагональних матриць.

З [1] ви можете побачити цю фігуру, що описує деякі методи для деяких типів елементів Масове згущення для деяких двовимірних кінцевих елементів

Список літератури

[1] Чжу, Дж., З.Р. Тейлор та О. К. Зеєнкевич. "Метод кінцевих елементів: його основа та основи". (2005): 54–102.

[2] Феліппа, Карлос А., Ционг Го і Парк KC. "Шаблони масових матриць: загальний опис та приклади 1d." Архів обчислювальних методів в техніці 22.1 (2015): 1-65.

— nicoguaro
джерело