Як мотивована криловидна мультисетка (використовуючи MG як попередній кондиціонер)?

Багаторешітка (MG) може бути використана для розв’язання лінійної системи , побудувавши початкову здогадку і повторивши наступне для до зближення:$Ax=b$ i = 0 , $x_0$$i=0,1..$

1. залишковий$r_i = b-Ax_i$
2. Застосуйте багаторешітний цикл, щоб отримати апроксимацію , де . A e i = r $\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. Оновлення$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

Багаторіджевий цикл - це деяка послідовність згладжування, інтерполяції, обмеження та точної грубої сітки для вирішення операцій, застосованих до для отримання . Зазвичай це V-цикл або W-цикл. Це лінійна операція, тому ми пишемо . Δ x i Δ x i = B r $r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

Можна інтерпретувати цей процес як попередню ітерацію Річардсона. Тобто ми оновлюємо .$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

Ітерація Річардсона - це прототиповий метод підпростору Крилова, який пропонує використання багаторешітних циклів для попередньої умови інших методів підпростору Крилова. Іноді це називається «прискоренням» мультирешітки методом Крилова, або по черзі можна розглядати як вибір передумовника для методу Крилова.

Ще один спосіб розширити алгоритм, наведений вище, - використовувати повну мультисетку (FMG). Дивіться цю відповідь для стислого опису.

У яких ситуаціях MG з прискореним криловим кращим є перед MG або FMG?

У деяких випадках (F) MG забезпечує алгоритм з оптимальними властивостями. Наприклад, правильно налаштована FMG може вирішити деякі еліптичні проблеми в невеликій кількості "робочих одиниць", де робочий блок визначається як обчислювальні зусилля, необхідні для вираження самої проблеми - у цьому випадку операції з формування залишкової на найтоншу сітку. Це настільки ефективний (отже важко переможений) алгоритм, що він є основою для еталону HPC, призначеного для вимірювання максимальної потужності суперкомп'ютера для вирішення реалістичних проблем фізики ( HPGMG ). Якщо такий метод є в наявності, його, звичайно, доцільно використовувати.$b-Ax$

Однак у багатьох практичних випадках не застосовується оптимальний чи ефективний багаторешітний метод. Це може бути тому, що

• такий метод невідомий або недоступний для даної проблеми
• плавніші та міжмережеві оператори недостатня для зближення підручника
• розгалужувач грубої сітки неточний

У цих випадках рішення може бути погіршене помилкою, яка не зменшується, як це повинно бути за допомогою багаторешінного циклу. Якщо ця помилка міститься в низькомірному підпросторі, однак метод Крилова може вирішити цю помилку в невеликій кількості ітерацій, а значить, "очистити" після недосконалого багаторешітки. Тобто, якщо у є декілька сторонніх власних значень, метод Крилова повинен мати можливість фіксувати відповідні власні простори.$BA$

Зауважимо, що вибір використання субоптимального методу може призвести до набагато «дешевшого» мультисеточного циклу, до того, що прискорення Крилова окупається. Тобто, можуть виникнути проблеми (і обчислювальні системи), коли МГ, прискорений Криловим, може перевершити MG. Мені було б цікаво знайти конкретний приклад цього.

(Завдяки @chris вище та Метту Кнеплі, який згадував про щось вище у підручнику)