Який ітеративний метод може ефективно вирішити лінійну систему з таким видом спектру

У мене є лінійна система з матрицею, власні значення якої рівномірно розподілені на одиничне коло так:

введіть тут опис зображення

Чи можливо ефективно вирішити подібну систему ітераційним методом, можливо, за допомогою попереднього кондиціонера?

linear-algebra iterative-method preconditioning

Я думаю, що MINRES це зробить, хоча я знаю лише подібні результати для реального спектру. Чи знаєте ви більше про матрицю (зокрема, це нормально)?

— Крістіан Класон

Також подивіться сторінку.math.tu- berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

— Крістіан Классон

Цей документ також є хорошим посиланням. Зокрема, застосування методу спряжених градієнтів до звичайних рівнянь ( ), хоча не доцільно для матриць з великим числом числа, може працювати у вашому випадку, оскільки особливі значення виглядають досить близькими до 1.

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

— Даніель Шаперо

@ChristianClason в загальному випадку матриця не є нормальною. Він має певну структуру блоку і розріджений. Дякую за довідку!

— faleichik

Якщо матриця дуже ненормальна, то моя пропозиція щодо CGNE неправильна, але цей папір повинен бути гарним початком. У бібліотеці PETSc є майже кожен вирішувач підпростору Крилова під сонцем, тож ви можете спробувати їх усі та побачити, який із них найкраще працює. Для нього також є інтерфейс Python, який робить речі набагато зручнішими.

— Даніель Шаперо

Матриця дуже добре кондиціонована, тому GMRES (k) повинен працювати нормально без попереднього кондиціонера.

— Арнольд Ноймаєр
джерело

Хоча матриця добре обумовлена, це не обов'язково означає, що GMRES добре сходиться. Приклад Октави (Matlab): `n = 100; A = око (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); condition_number = cond (A), b = eye ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, прапор, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); закрити все; semilogy (resvec); figure; plot (eig (A ), "."); `

— Вім

@wim: Ви маєте рацію; Я припускав без поважних причин, що нормальний.

A

$A$

— Арнольд Ноймаєр