Як почувається слабка конвергенція чисельно?

9

Подумайте, у вас є проблема в нескінченному просторі Гільберта або Банаха (придумайте PDE або оптимізаційну проблему в такому просторі) і у вас є алгоритм, який слабко сходиться до рішення. Якщо ви дискретизуєте проблему і застосуєте відповідний дискретизований алгоритм до проблеми, то слабка конвергенція - це збіжність у кожній координаті, а отже, і сильна. Моє запитання:

Чи відчуває цей вид сильної конвергенції чи щось відрізняється від конвергенції, отриманої від старої доброї простої сильної конвергенції оригінального нескінченного алгоритму?

Або, конкретніше:

Яка погана поведінка може статися з "дискреційним слабко конвергентним методом"?

Я сам, як правило, не дуже радий, коли можу лише довести слабку конвергенцію, але до цих пір я не міг спостерігати певну проблему з результатами методів, навіть якщо проблему дискретизував проблемами на більш високі розміри.

Зауважте, що мене не цікавить проблема "перший дискретизувати, ніж оптимізувати" проти "перший оптимізувати, ніж дискретизувати", і я знаю про проблеми, які можуть виникнути, якщо застосувати алгоритм до дискретної проблеми, яка не поділяє всі властивості з проблемою для якого алгоритм був розроблений.

Оновлення: В якості конкретного прикладу розглянемо проблему оптимізації зі змінною в $L^2$ і вирішити це з чимось на кшталт (інерційного) розбиття вперед-назад або яким-небудь іншим методом, для якого лише слабка конвергенція в $L^2$ відомий. Для вирішеної проблеми ви можете використовувати той самий метод, і при правильній дискретизації ви отримаєте той самий алгоритм, якщо ви дискретизували алгоритм безпосередньо. Що може піти не так, коли ви підвищите точність дискретизації?

algorithms convergence

— Дірк
джерело

Яким методом ви думаєте, де аналізується конвергенція, перш ніж дискретизувати нескінченномірну задачу? Ви згадуєте про оптимізацію, тож ви думаєте про проблеми оптимізації, обмежені PDE, здебільшого, чи є щось інше?

— Білл Барт

Крім оптимізації PDE, я маю на увазі геометричні варіаційні проблеми (наприклад, мінімальна поверхня) та зображення (наприклад, позначення телевізора, сегментація Мамфорда-Шаха).

— Дірк

3

Це правда, що слабка конвергенція є найважливішою у межі континууму як $h\to 0$ (наприклад, не в змозі спостерігати жодну швидкість конвергенції). Принаймні, в просторах Гільберта вона також тісно пов'язана з неоднорідністю межі і, отже, лише послідовною конвергенцією (наприклад, де ви можете чергувати наближення до різних граничних точок, знову знищуючи швидкості), і важко відокремити вплив два на конвергенцію.

Зокрема для слабкої конвергенції в Росії $L^2$ , у вас також є той факт, що конвергенція не повинна бути точковою, і це ви можете насправді спостерігати за (досить тонкою) дискретизацією. Ось приклад із послідовності мінімізаторів $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ що сходиться як $\varepsilon\to 0$ до

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$ де конвергенція слабка, але не є точковою

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (але точково майже скрізь). На наступних малюнках показано три репрезентативних елемента з послідовності (для

ε

$\varepsilon$ вже зовсім маленький).

слабка конвергенція 1 слабка конвергенція 2 слабка конвергенція 3

Це явище відоме як «цмокання» у наближенні задач управління чубком для диференціальних рівнянь (тобто проблем із обмеженнями в області, де рішення майже скрізь досягає нижньої чи верхньої межі).

— Крістіан Класон
джерело

Відмінний приклад! Однак я не зрозумів, наскільки слабка конвергенція пов'язана з неоднорідністю. Загалом, не можна переробити слабку конвергенцію до сильної конвергенції, коли межа є унікальною, правда? Але погодьтеся, часто у людини є і лише слабка конвергенція, і не унікальність.

— Дірк

Вибачте, це було погано сформульовано; Я не мав на увазі, що це завжди так. Я мав на увазі проблеми, коли зазвичай ви також отримуєте конвергенцію норми, так що, поки ви маєте конвергенцію повної послідовності, ви можете "перейти" на сильну конвергенцію (тобто єдине, що може запобігти сильній конвергенції, - це послідовне зближення ).

— Крістіан Класон

2

Питання, яке ви задаєте, часто не викликає особливого практичного занепокоєння, оскільки слабке зближення в одній нормі може означати сильну конвергенцію в іншій для тієї ж послідовності рішень.

Щоб навести один приклад, припустимо, що ми розв’язуємо рівняння Лапласа з досить гладкою правою стороною на опуклій полігональній області зі стандартними кінцевими елементами. Потім рішення $u$ є в $H^2$ , але, звичайно, рішення кінцевих елементів $u_h$ є лише в $H^1$ . Ми це знаємо $u_h \rightarrow u$ сильно в обох $L_2$ і $H^1$ норми як максимальний розмір сітки $h\rightarrow 0$ оскільки у нас є апріорні оцінки помилок $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ і $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$ .

Але явно ми не можемо очікувати $u_h \rightarrow u$ сильно в $H^2$ тому що $u_h$ є лише в $H^1$ . Але ми могли б $u_h \rightharpoonup u$ слабо в $H^2$ (насправді я думаю, що це має місце). Це, мабуть, означатиме таке твердження, як

⟨ \nabla^{2} (у - у_{год}), \nabla^{2} v ⟩ \leq о (1) \forall v \in Н^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Справа в тому, що питання слабкої та сильної конвергенції, як правило, полягає в питанні, яку норму ви дивитесь, а не властивості послідовності рішень, отриманих від вашого методу.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Це правда, але в якийсь момент норма стає занадто слабкою, щоб бути практично корисною (наприклад, коли у вас лише слабка конвергенція в

L^{2}

$L^2$ , що може означати сильну конвергенцію негативних норм Соболєва, які не піддаються локалізації).

— Крістіан Класон

@ChristianClason, чи можете ви поговорити, що це таке, коли такий метод дискретизується. Вони працюють? Etc?

— Білл Барт

Я мав на увазі той випадок, коли дискретована норма фактично наближає норму, в якій відбувається лише слабке зближення (як правило

L^{2}

$L^2$ ).

— Дірк