Яке загальне уявлення про метод Нітше в числовому аналізі?

Я знаю, що метод Нітше є дуже привабливим методом, оскільки він дозволяє слабко враховувати граничні умови типу Діріхле або контакт з граничними умовами тертя без використання множників Лагранжа. А його перевага, яке полягає в перетворенні граничної умови Діріхле на слабкі терміни, аналогічно граничній умові Неймана, виплачується тим, що реалізація залежить від моделі.

Однак це здається мені занадто загальним. Чи можете ви дати мені більш конкретне уявлення про цей метод? Простий приклад був би вдячний.

— Ань-Ті DINH
джерело

Я не думаю, що я цілком розумію ваше запитання. Ви правильно визначите, чому метод був винайдений (для обробки умов Діріхле в слабкій формі). Що ви маєте на увазі під "Тим не менш, це здається мені занадто загальним. Чи можете ви дати мені більш конкретне уявлення про цей метод? Простий приклад дорогий".

— Вольфганг Бангерт

@WolfgangBangerth: Мені потрібен (простий) приклад для цієї ідеї. Для мене це так абстрактно.

— Ань-Тхі DINH

@Oliver: Я припускаю, що ви маєте на увазі "дорогий", як у "дорогий", "дорогоцінний", тобто "цінується"? Я взяв на себе сміливість змінити слово; якщо ви не погоджуєтесь, сміливо відкатуйте правки.

— Крістіан Класон

Метод Нітше пов'язаний з переривчастими методами Галеркіна (дійсно, як зазначає Вольфганг, він є попередником цих методів), і його можна вивести аналогічним чином. Розглянемо найпростішу задачу - рівняння Пуассона: Зараз ми шукаємо варіативне формулювання, яке

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ у & = f на Ω, \\ у & = г на \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

задовольняється (слабким) рішенням (тобто послідовним), $u\in H^1(\Omega)$
симетрична і , $u$ $v$
допускає унікальне рішення (це означає, що білінеарна форма є примусовою).

Починаємо, як завжди, приймаючи сильну форму диференціального рівняння, множимо на тестову функцію та інтегруємо на частини. Починаючи з правого боку, отримуємо $v\in H^1(\Omega)$ де в останньому рівнянні ми додали на межі продуктивний нуль. Переставляючи терміни на окремі лінійні та білінеарні форми, тепер дається варіаційне рівняння для симетричної білінеарної форми, яка задоволена для рішенняз.

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ у, v) & = (\nabla у, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} у v г с \\ = (\nabla у, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} у v г с - \int_{\partial Ω} (у - г) \partial_{ν} v г с \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

Білінійна форма, проте , не примусовою, так як ви не можете обвили його знизу по (як у нас немає ніяких граничних умов для довільного , ми не можемо використовувати Нерівність Пуанкаре, як зазвичай - це означає, що ми можемо зробити частину норми довільно великою, не змінюючи білінеарної форми). Тому нам потрібно додати ще один (симетричний) термін, який зникає для справжнього рішення: $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ для деякого досить великий. Це призводить до (симетричного, послідовного, примусового) слабкого формулювання: Знайдіть такий, що $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla у, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} у v г с - \int_{\partial Ω} у \partial_{ν} v г с + η \int_{\partial Ω} у v г с = - \int_{\partial Ω} г \partial_{ν} v г с + η \int_{\partial Ω} г v г с + \int_{Ω} f v г х для усіх v \in Н^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

(Це не оригінальне походження Нітше, яке передує розривним методам Галеркіна і починається з еквівалентної проблеми мінімізації. Насправді його оригінальний документ взагалі не згадує відповідну білінеарну форму, але ви можете знайти її, наприклад, у Фрейнді та Стенберзі, Про слабо накладені граничні умови для проблем другого порядку , Праці Дев'ятих міжнародних конфліктних елементів у рідинах, Венеція 1995 р. М. Моранді Чеччі та ін., Вип., С. 327-336 .)

— Крістіан Класон
джерело

Ваше перше речення не є помилковим, але історично неточним: ідея Нітше вийшла першою і надихнула на розвиток розривних методів Галеркіна. Однак це не відштовхується від відмінної відповіді.

— Вольфганг Бангерт

@WolfgangBangerth Ви, звичайно, правильні; ніякої причинності не малося на увазі, лише кореляція. Але важливо дати належну атрибуцію, особливо людям, які в іншому випадку отримують короткий зміст. Я редагую, щоб зробити це зрозумілим.

— Крістіан Класон

Запитання: 1. Чи могли б Ви детальніше розглянути питання про примус до додавання додаткового граничного терміна? 2. Що означає тут "невідповідність"? 3. Я думав, що читав, що стабільність - це автоматичний результат коерцитивності білінеарної форми ..? Хоча це пояснення досить добре (єдине пояснення мені вдалося знайти насправді), чи може хтось посилатися на інше загальне пояснення методу (та / або його виведення) лише для порівняння? Навіть якби я міг знайти оригінальний папір, не впевнений, що це допоможе. Доповідь Фрейнда та Стенберга дає лише короткий конспект та певну пару

— Ночі

V_{h}

$V_h$

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$

@Nights Я відредагував відповідь, щоб вирішити ваші пункти (за винятком, очевидно, у другому абзаці).

— Крістіан Класон