Вибір більшості розсіяних точок із набору точок

Чи існує який-небудь (ефективний) алгоритм для вибору підмножини точок з набору точок ( ) таким, щоб вони "охоплювали" більшу площу (над усіма можливими підмножинами розміру )?Н М < Н $M$$N$$M < N$$M$

Я припускаю, що точки знаходяться в 2D площині.

Наївний алгоритм простий, але непомірний за часовою складністю:

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

Я шукаю більш ефективний або навіть приблизний метод.

Наприклад, ось площина з деякими випадковими точками в ній:

Для $M=5$ я очікую на вибір таких пунктів:

Зверніть увагу, що вибрані точки (червоні) розкидані по всій площині.

Я знайшов статтю " ЕФЕКТИВНО ВИБІР ПРОПОЗИЦІЙНО РАЗРЕШЕНОГО КЛЮЧОВІ ДЛЯ ВІЗУАЛЬНОГО ВІДТВОРЕННЯ ", яка пов'язана з цією проблемою. Однак це передбачає, що бали зважуються.

Ось приблизне рішення. Оскільки N такий великий, а M такий маленький, як щодо наступного:

1. Обчисліть опуклий корпус N
2. Виберіть до корпусу до M точок, які відповідають вашим максимальним критеріям відстані.
3. Якщо крок 2 залишає вас менше, ніж M точок, то виберіть з інтер’єру 1 бал, що максимально віддаляє його від раніше вибраних точок.
4. Повторіть крок 3, поки кількість вибраних точок не дорівнює M

Інтуїція за цим полягає в тому, що оскільки N >> M , і ви хочете, щоб точки були якнайдалі один від одного, вони, ймовірно, будуть близько до країв даних, тому ви можете також почати з корпусу, а потім ітеративно працюйте звідти.

Також, починаючи з корпусу, ви зменшуєте свій початковий пошук з N до N ^1/2 .

ОНОВЛЕННЯ

Якщо кроки 3 та 4 вище займають занадто багато часу (оскільки ви ітеративно випробовуєте внутрішню частину вашого набору даних) у мене виникли ще дві ідеї, щоб пришвидшити вашу проблему.

1. Випадковий пошук : Скажіть, що ви знайшли P пунктів на корпусі на кроці 2. Потім випадковим чином намалюйте точки M - P з внутрішньої частини. Виберіть найкращий набір після X випробувань.
2. Імітований відпал : обчисліть найменше обмежувальне вікно, яке охоплює ваш набір даних (не повинно бути узгоджено з осями, його можна нахилити). Потім визначте набір M рівномірно розподілених точок сітки на цьому обмежувальному полі. Зауважте, ці точки не обов'язково збігаються з будь-якими точками вашого набору даних. Потім для кожної точки сітки знайдіть k- найближчих сусідів у вашому наборі даних. Пробігайте кожну комбінацію M x k і виберіть ту, яка відповідає вашим максимальним критеріям відстані. Іншими словами, ви використовуєте початкову сітку в якості завантажувального інструменту, щоб знайти гарне початкове рішення.

$N$$M$

$M$$M$

$M$$1$$M=3,4,5$

$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

Якщо ми хочемо уникати переважного вибору точок на периферії, інша мета може виявитись корисною. Максималізація мінімальної відстані між точками є таким критерієм. Пов'язані проблеми стосувались StackOverflow , Computer Computer SE , Math.SE та MathOverflow .

$M$$D$$M$$D$

Гаразд, значить, ви хочете вибрати M точок із заданого набору N точок в площині Евкліда, щоб сума попарних відстаней вибраних точок була максимальною, правильно?

Стандартний алгоритм локального пошуку досить швидкий і пропонує досить гарне наближення. Час виконання лінійний у N та квадратичний у М. Його відношення наближення становить 1 - 4 / М. Це означає, що співвідношення покращується зі збільшенням M. Наприклад, для M = 10 воно отримує 60% оптимального значення, а для M = 50 - 92% оптимального значення.

Алгоритм працює також для евклідових просторів загального виміру. У цьому випадку проблема є NP-жорсткою. Але в літаку невідомо, чи це NP-важко.

Джерелом є цей папір . Сподіваюся, це допомагає! Найкраще, Альфонсо

Одне рішення:

• $O(n)$

• Зробіть M штучними рівномірними розподіленими точками всередині цього обмежуючого прямокутника, деякі M важче, ніж інші. У вашому випадку чотири в кутах прямокутника і один в центрі

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$