Періодична гранична умова для рівняння тепла в] 0,1 [

Розглянемо гладку початкову умову та рівняння тепла в одному вимірі: у відкритому інтервалі , і припустимо, що ми хочемо її вирішити чисельно з кінцевими різницями.

\partial_{t} u = \partial_{x x} u

$\partial_t u = \partial_{xx} u$

] 0, 1 [

$]0,1[$

Я знаю, що для того, щоб моя проблема була добре поставлена, мені потрібно наділити її граничними умовами при і . Я знаю, що Діріхлет або Нойман добре працюють. $x=0$ $x=1$

Якщо я маю в першому випадку внутрішніх точок $N$ для, тоді у мене єневідомих:для, тому щомежі задано на межах. $x_k=\frac{k}{N+1}$ $k=1,\cdots,N$ $N$ $u_k=u(x_k)$ $k=1,\cdots,N$ $u$

У другому випадку я дійсно маю невідомих , і я знаю, як використовувати (однорідний) Neumann BC, щоб дискретизувати лаплаціана на кордоні, наприклад, з приєднанням двох вигаданих точок і і рівності: $N+2$ $u_0,\cdots,u_{N+1}$ $x_{-1}$ $x_{N+2}$

\frac{u_{1} - u_{- 1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N + 2} - u_{N}}{2 h}

$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$

Моє запитання стосується періодичної ери. У мене є відчуття, що я міг би використовувати одне рівняння, а саме але, можливо, два, і тоді я використовував би

u (0) = u (1)

$u(0) = u(1)$

\partial_{x} u (0) = \partial_{x} u (1)

$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$

але я не впевнений. Я не знаю, скільки невідомих я повинен мати. Це ? $N+1$

pde boundary-conditions parabolic-pde

— bela83
джерело

Чи є у вас межі Діріхле чи Неймана? Кількість клітин-привидів залежить від порядку наближення для вас граничних умов Неймана.

— ilciavo

@ilciavo, питання про періодичні граничні умови.

— Білл Барт

Відповіді:

Найкращий спосіб зробити це (як ви сказали) просто використовувати визначення періодичних граничних умов і правильно налаштувати свої рівняння з самого початку, використовуючи той факт, що . Насправді, ще сильніше, періодичні граничні умови ототожнюють з . З цієї причини у домені рішення вам слід мати лише один із цих моментів. Відкритий інтервал не має сенсу при використанні періодичних граничних умов, оскільки немає меж . $u(0)=u(1)$ $x=0$ $x=1$

$x=1$ $x=0$ $N+1$ $x_0$ $x_N$ $x_N$ $x_0$

схема періодичної сітки

\frac{\partial}{\partial t} [\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ ⋮ \\ x_{N} \end{matrix}] = \frac{1}{Δ x^{2}} [\begin{matrix} x_{N} - 2 x_{0} + x_{1} \\ x_{0} - 2 x_{1} + x_{2} \\ ⋮ \\ x_{N - 1} - 2 x_{N} + x_{0} \end{matrix}]

$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$

\frac{\partial}{\partial t} \vec{x} = \frac{1}{Δ x^{2}} A \vec{x}

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}] .

$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$

Звичайно, немає потреби насправді створювати та зберігати цю матрицю. Кінцеві відмінності слід обчислювати на льоту, обережно обробляючи першу та останню точки спеціально за потребою.

\partial_{t} u = \partial_{x x} u + b (t, x)

$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$

x \in [- 1, 1)

$x\in[-1,1)$

u_{Ref} (t, x) = \exp (- t) \cos (5 π x)

$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$

b (t, x) = (25 π^{2} - 1) \exp (- t) \cos (5 π x)

$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

Сюжет початкового стану

Ділянка розчину при t = 0,5

Діаграма розчину при t = 1,0

Діаграма розчину при t = 2,0

— Дуг Ліпінський
джерело

Чудове і просте рішення !! на випадок, якщо комусь це знадобиться, тут реалізація в Python

— ilciavo

x

$x$

@ bela83 Ви праві, що не потрібно нічого більше вказувати, ніж початкова умова. Це призведе до надмірно визначеної системи. Все, що вам потрібно зробити, - це бути обережним біля кінцевих точок інтервалу, щоб переконатися, що ви періодично обертаєте речі. Існує багато дійсних способів зробити це.

— Дуг Ліпінський

-1

Згідно з цим вам слід вводити періодичні граничні умови як:

u (0, t) = u (1, t) u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$

Одним із способів дискредитації рівняння тепла, що імпліцитно використовується назад Ейлером, є

\frac{u^{n + 1} - u_{n}}{Δ t} = \frac{u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i + 1}^{n + 1}}{Δ x^{2}}

$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$

Розв’язування системи рівнянь

[\begin{matrix} I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}]

$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$

$u_{0}$ $u_{N+1}$

u_{1} - u_{N} = 0 \frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} - \frac{u_{N + 1} - u_{N - 1}}{2 Δ x} = 0

$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$

$u_x$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{0}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ u_{2}^{n + 1} \\ u_{N}^{n + 1} \\ u_{N + 1}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

Що дає вам рівняння N + 2 та невідомі N + 2.

Ви також можете позбутися перших рівнянь і привидних клітин і дійти до системи N рівнянь і N невідомих.

— ільчаво
джерело

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_N$

u_{N}

$u_N$

] 0, 1 [

$]0,1[$

x_{k} = \frac{k}{N + 1}

$x_k=\frac{k}{N+1}$

x_{N} = \frac{N}{N + 1}

$x_N=\frac{N}{N+1}$

N

$N$

u_{0}

$u_0$

u_{N - 1}

$u_{N-1}$

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_{N}$

u_{1}

$u_1$

u_{N}

$u_N$

u_{0}

$u_0$

u_{N + 1}

$u_{N+1}$

u_{0} = u_{N + 1}

$u_0=u_{N+1}$

N + 1

$N+1$

Я змінив позначення. Це залежить від порядку наближення для

. Перший походить від

u_{x}

$u_x$

u (0, t) = u (1, t)

$u(0,t)=u(1,t)$

u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$u_x(0,t)=u_x(1,t)$

u1 = uN додає до вашої системи додаткове обмеження (рівняння u1

— uN