Перевірка в задачах власного значення

Почнемо з проблеми форми

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

з набором заданих граничних умов ( Діріхлет , Нойман , Робін , Періодичний , Блох-Періодичний ). Це відповідає знаходженню власних значень та власних векторів для деякого оператора за певної геометрії та граничних умов. Таку проблему можна отримати, наприклад, в акустиці, електромагнетизмі, еластодинаміці, квантовій механіці. $\mathcal{L}$

Я знаю, що можна дискретизувати оператора, використовуючи різні методи, наприклад, Методи кінцевої різниці для отримання

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

або використовуючи Методи кінцевих елементів для отримання

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

В одному випадку отримання проблеми власного значення та узагальненої задачі про власне значення в іншому. Після отримання дискретної версії задачі використовується вирішувач для проблеми власного значення.

Деякі думки

Метод «Промислові рішення» в цьому випадку не є корисним, оскільки не існує джерела терміна, який би збалансував рівняння.
Можна переконатися, що матриці та добре захоплені, використовуючи задачу частотної області із терміном джерела, наприклад $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
замість

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Але це не перевірить вирішені питання.
Можливо, можна порівняти рішення для різних методів, таких як FEM і FDM.

Питання

Який спосіб перевірити рішення (пари власних значень-власних векторів) для дискретизаційних схем завдяки чисельним методам, таким як FEM і FDM, для задач про власне значення?

— nicoguaro
джерело

Чи можете ви порівняти свої результати зі спектрами відомих випадків (квадрат, куб, коло, сфера)? Також очікуються показники конвергенції власних векторів та власних значень у відповідних нормах, які ви можете перевірити (хоча ці показники мають тенденцію змінюватися залежно від частоти - див. Journals.cambridge.org/action/… )

— Джессі Чан

Так, ви можете порівняти з аналітичними рішеннями. Але зазвичай вони надаються для справді простих випадків. Питання в тому, як зробити процес верифікації. Якщо є щось подібне до методу, о виготовляються рішення. Або якщо вам слід поєднувати цей метод для інших проблем з аналітичними рішеннями.

— nicoguaro

В одному вимірі, якщо ви починаєте з бажаних і маєте , ви можете спробувати розкласти , якщо такі існують , а потім запустіть з . Можливо, це може зіпсувати симетрії та інші властивості. Тут і повинні бути лінійно незалежними і не можуть зникати в одній точці.

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— Кирило

@JesseChan, дякую за запропоноване прочитання. Ми зайняли деякий час, але я прочитав. Я не думаю, що вони дають достатньо інформації для бажаної мети.

— nicoguaro

Я хочу бути впевненим, що я вас правильно зрозумів. Чи хочете ви знати, як оцінити відстань між обчисленими власними парами для дискретного оператора (матриці чи матриці) та відповідним власним парам для плавного оператора? Або ви хочете тепер, як оцінити точність, за допомогою якої ви вирішили дискретну задачу власного значення?

— Карл Крістіан

Відповіді:

Я усвідомлюю, що це питання давнє, але я його просто побачив і вважаю цікавим. У минулому я дотримувався пропозицій, знайдених у коментарях до цього питання, поєднаних із дещо складнішими справами, які мені знайомі з літератури (Орр - Соммерфельд завжди корисний).

Однак мені також відома деяка література про неоднорідні проблеми власного значення, які виникають при побудові виготовленого рішення. Тут є деякі обговорення таких проблем: DOI: 10.1016 . Ці автори також пропонують так званий метод виготовлених поперечних перерізів (MXS), я думаю, щоб уникнути цього питання взагалі, який я не претендую на розуміння на даний момент, але міг би бути корисним.

— Спенсер Брінгельсон
джерело

Те, що вони пропонують як "неоднорідну власну ціннісну проблему" - це підхід, який я запропонував у своєму початковому дописі. Я все ще намагаюся зрозуміти метод виготовлених перерізів.

— nicoguaro

Я розумію, що просто припускаючи, що для подібних проблем існує деяка література, тому це може бути не тупиком, як ви запропонували: "Промислові рішення в цьому випадку не корисні, оскільки не існує терміна джерела, який би збалансував рівняння".

— Спенсер Брінгельсон

Це не критика вашої посади. Зовсім навпаки! Я просто коментую те, що знайшов, прочитавши посилання, щоб сприяти дискусії.

— nicoguaro

Для похідної другого порядку (і лаплаціанців на простих областях) доступні вирази для дискретних власних пар (тобто після дискретизації). Наприклад, для скінченної різниці тут вказані власні пари .

Вираз для власних пар з дискретизацією кінцевих елементів можна знайти аналогічно (для дискретизації P1 та P2).

— user7440
джерело