Тест симплектичного інтегратора 3-го порядку проти 4-го порядку із дивним результатом

У своїй відповіді на запитання про MSE щодо 2D-моделювання фізики Гамільтонів я запропонував використовувати симплектичний інтегратор вищого порядку .

Тоді я подумав, що може бути гарною ідеєю продемонструвати вплив різних часових кроків на глобальну точність методів з різними порядками, і я написав і запустив сценарій Python / Pylab для цього ефекту. Для порівняння я вибрав:

• ( leap2 ) Приклад Вікіпедії 2-го порядку, з яким я знайомий, хоча я знаю його під назвою leapfrog ,
• ( ruth3 ) Симплектичний інтегратор Рут 3-го порядку ,
• ( ruth4 ) Симплектичний інтегратор Рут четвертого порядку .

Дивна річ у тому, який би часовий крок я не вибрав, метод Рут 3-го порядку здається більш точним у моєму тесті, ніж метод Рут 4-го порядку, навіть на порядок.

Моє запитання тому: що я тут роблю неправильно? Деталі нижче.

Методи розгортають свою силу в системах з відокремленими гамільтоніанами, тобто в тих, які можна записати як

$$H(q,p) = T(p) + V(q)$$ де $q$ містить усі координати положення, $p$ містить спряжений момент, $T$ являє кінетичну енергія та $V$ потенційна енергія.

У нашому налаштуванні ми можемо нормалізувати сили та імпульси за допомогою мас, до яких вони застосовуються. Таким чином сили перетворюються на прискорення, а моменти перетворюються на швидкості.

Симплектична інтегратори йдуть зі спеціальними (враховуючи, постійні) коефіцієнти , які я маркують $a_1,\ldots,a_n$ і $b_1,\ldots,b_n$ . З цими коефіцієнтами один крок для розвитку системи від часу $t$ до часу $t+\delta t$ приймає форму

• Для $i=1,\ldots,n$ :

  1. Обчисліть вектор $g$ всіх прискорень, задавши вектор $q$ усіх положень
  2. Змініть вектор $v$ усіх швидкостей на $b_i\,g\,\delta t$
  3. Зміна вектора $q$ всіх позицій по $a_i\,v\,\delta t$

Мудрість тепер полягає в коефіцієнтах. Це

$$\begin{align} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(leap2)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ \frac{7}{24} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{24} \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth3)} \\ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \end{bmatrix} &= \frac{1}{2-\sqrt[3]{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1-\sqrt[3]{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\sqrt[3]{2} & 1 \end{bmatrix} &&\textsf{(ruth4)} \end{align}$$

Для тестування я вибрав задачу з початковим значенням 1D

$$\begin{align} y''+y &= 0 & y(0) &= 1 & y'(0) &= 0 \end{align}$$ $$\therefore\quad \left(y(t),y'(t)\right) = (\cos t, -\sin t)$$ який має відокремлений гамільтоніан. Тут$(q,v)$ ототожнюються з$(y,y')$ .

Я інтегрував IVP з вищезазначеними методами над $t\in[0,2\pi]$ зі ступенем розміру $\delta t=\frac{2\pi}{N}$ з цілим числом$N$обраним десь між$10$ і $100$ . Враховуючи швидкість стрибка2 , я потроїв $N$ для цього методу. Потім я побудував отримані криві у фазовому просторі і збільшив масштаб $(1,0)$ де криві в ідеалі повинні знову прийти до $t=2\pi$ .

Ось графіки та масштаби для $N=12$ та $N=36$ :

Для $N=12$ , стрибок2 з розміром кроку $\frac{2\pi}{3N}$$\frac{2\pi}{N}$$N=36$

Ось сценарій Python / Pylab:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def symplectic_integrate_step(qvt0, accel, dt, coeffs):
    q,v,t = qvt0
    for ai,bi in coeffs.T:
        v += bi * accel(q,v,t) * dt
        q += ai * v * dt
        t += ai * dt
    return q,v,t

def symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs):
    q = np.empty_like(t)
    v = np.empty_like(t)
    qvt = qvt0
    q[0] = qvt[0]
    v[0] = qvt[1]
    for i in xrange(1, len(t)):
        qvt = symplectic_integrate_step(qvt, accel, t[i]-t[i-1], coeffs)
        q[i] = qvt[0]
        v[i] = qvt[1]
    return q,v

c = np.math.pow(2.0, 1.0/3.0)
ruth4 = np.array([[0.5, 0.5*(1.0-c), 0.5*(1.0-c), 0.5],
                  [0.0,         1.0,          -c, 1.0]]) / (2.0 - c)
ruth3 = np.array([[2.0/3.0, -2.0/3.0, 1.0], [7.0/24.0, 0.75, -1.0/24.0]])
leap2 = np.array([[0.5, 0.5], [0.0, 1.0]])

accel = lambda q,v,t: -q
qvt0 = (1.0, 0.0, 0.0)
tmax = 2.0 * np.math.pi
N = 36

fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6, 6))
ax.axis([-1.3, 1.3, -1.3, 1.3])
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title(r"Phase plot $(y(t),y'(t))$")
ax.grid(True)
t = np.linspace(0.0, tmax, 3*N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, leap2)
ax.plot(q, v, label='leap2 (%d steps)' % (3*N), color='black')
t = np.linspace(0.0, tmax, N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth3)
ax.plot(q, v, label='ruth3 (%d steps)' % N, color='red')
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth4)
ax.plot(q, v, label='ruth4 (%d steps)' % N, color='blue')
ax.legend(loc='center')
fig.show()

Я вже перевірив прості помилки:

• Немає друку у Вікіпедії. Я перевірив посилання, зокрема ( 1 , 2 , 3 ).
• Я правильно зрозумів послідовність коефіцієнтів. Якщо ви порівнюєте з замовленням Вікіпедії, зауважте, що послідовність роботи програми оператора працює справа наліво. Моя нумерація погоджується з Candy / Rozmus . І якщо я все ж спробую інше замовлення, результати погіршаться.

Мої підозри:

• $N=360$
• Неправильний тест: Щось особливе в моєму тесті дозволяє методу Рут 3-го порядку вести себе як метод вищого порядку?

$N$$N$

$$\epsilon(N) = \|\tilde z(2\pi) - \tilde z(0)\|_2 \quad\text{where}\quad \tilde z(t) = \left(\tilde{y}(t),\tilde y'(t)\right)$$ $\tilde z$

$4$$\frac{1}{100}$

Цікаво. Мені доведеться досліджувати далі, можливо, пробуючи інші тести.

До речі, ось доповнення до сценарію Python для графіку помилок:

def int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, coeffs):
    e = np.empty((len(Ns),))
    for i,N in enumerate(Ns):
        t = np.linspace(qvt0[2], qvt1[2], N+1)
        q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs)
        e[i] = np.math.sqrt((q[-1]-qvt1[0])**2+(v[-1]-qvt1[1])**2)
    return e

qvt1 = (1.0, 0.0, tmax)
Ns = [12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,
      256,320,384,512,640,768,1024,1280,1536,2048,2560,3072]

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlabel(r"$N$")
ax.set_yscale('log')
ax.set_ylabel(r"$\|z(2\pi)-z(0)\|$")
ax.set_title(r"Error after 1 period vs #steps")
ax.grid(True)
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, leap2)
ax.plot(Ns, e, label='leap2', color='black')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth3)
ax.plot(Ns, e, label='ruth3', color='red')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth4)
ax.plot(Ns, e, label='ruth4', color='blue')
ax.legend(loc='upper right')
fig.show()

$\ddot q=-q$$q(0)=1,\dot q(0)=0$

Як і очікувалося, графіки збільшення кількості під інтервалів все більше наближаються до граничної кривої, яка є провідним коефіцієнтом помилок. У всьому, крім одного сюжету, ця конвергенція помітно швидка, розбіжностей майже немає. Це означає, що навіть при відносно великих розмірах кроків провідний термін помилки домінує над усіма іншими термінами.

$p$ компонента виявляється рівним нулю, видима гранична крива близька або дорівнює горизонтальній осі. На видимих ​​графіках чітко видно переважання терміна помилки 4-го порядку. Масштабування помилки четвертого порядку дає сюжет, подібний до інших.

$q$$t=2\pi$$p$

$q$$3\pi/2$

---

$\ddot q=-\sin(q)$$q(0)=1.3,~\dot q(0)=0$