Інтеграл у просторі журналу

Я працюю з функціями, які, як правило, набагато плавніші та краще поводяться в просторі журналу --- тому я виконую інтерполяцію / екстраполяцію тощо, і це дуже добре працює. Чи є спосіб інтегрувати ці числові функції в журнальний простір?

тобто я сподіваюся використовувати якесь просте трапецієподібне правило, щоб виконати кумулятивний інтеграл (наприклад, у python, use scipy.integrate.cumtrapz), щоб знайти деякий st$F(r)$

$$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$$

Але я сподіваюся використовувати значення та , а не та (коли можливо).$log(y)$$log(x)$$y$$x$

Ви можете просто змінити змінні. Встановлення , . Інтеграл стає$a=log(x)$$b(a)=log(y(x))$

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

Ви повинні бути трохи обережними, тому що ви інтегруєтесь з . Що саме потрібно зробити, залежатиме від того, як виглядає .$-\infty$$y(x)$

Я не використовую python, але якщо я правильно зрозумів, то за допомогою ви думаєте щось на зразок де - векторний вибірковий інтеграл через сітку .

$$F(r)=\int_0^ry(x)dx$$ $$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$$ $\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$$\mathbf{x}$

Однак у вас немає зразків і , а скоріше ви маєте зразки та .$x$$y$$\hat{x}=\log(x)$$\hat{y}=\log(y)$

Звичайно, найпростішим підходом було би але це було б схильним до помилок, оскільки не є рівним, навіть якщо є.

$$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$$ $y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

Тепер трапецієподібне правило по суті передбачає, що ваш вхід є кусочно лінійним. Отже, для простого узагальнення було б припустити, що є кусочно лінійним.$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

У цьому випадку, визначаючи , ви маєте $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$

$$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$$

Тоді, визначаючи , у вас є і , з і .$t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$

$$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$$ $\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$

Тож інтеграл стає

$$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$$

У Matlab це виглядало б приблизно так

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

Сподіваюся, це допомагає!

(Редагувати: Моя відповідь, по суті, така ж, як і набагато більш стисла відповідь, яку дав Дамаск Стіл, коли я друкував. Єдина різниця - я намагався дати конкретне рішення для випадку, коли "конкретний " є кусочно -лінійна дискретна над дискретною сіткою , )$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$$\mathbf{\hat{x}}$$F(\hat{x}_1)=0$

Якщо функція виглядає гладкою на графіку журналу журналу, ви можете інтерполювати, використовуючи закон про потужність на кожному інтервалі (закони потужності, звичайно, лінійні в журналі журналу). Таким чином, між точками та за умови, що в інтервалі , ви отримуєте і . Тоді внесок у інтеграл від інтервалу становить $(x_i, y_i)$$(x_{i+1}, y_{i+1})$$y = C_i x^{n_i}$$i$$n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$$C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$$i$

$$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$$ де вам, очевидно, потрібна певна толерантність для визначення особливого випадку у вашій реалізації.$n_i=-1$

Я думаю, що в деяких попередніх відповідях є певна плутанина зі зміною змінних, а також деякі помилки. Інтеграл функції журналу не є журналом інтеграла. Я думаю, що взагалі важко виписати інтеграл функції, знаючи інтеграл її журналу. Якщо хтось знає, як це зробити, мені було б цікаво.

Тим часом рішення @ Стефана вище - це спосіб обійти інтеграцію функції в просторі журналу. Вихідним моментом є те, що функція, якою ви займаєтесь, лінійна в просторі журналу журналу для досить малих сегментів.

Потім можна записати рівняння рядка в кінцевих точках відрізка:

$$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$$ $$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$$

де $m_1$ - нахил лінії і $n_1$ є його y-перехоплення.

Віднімаючи ці два, можна знайти:

$$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$$

і від заміщення:

$$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$$

Якщо в просторі журналу журналу рівняння відрізка близьке до рядка, то у звичайному (лінійному) просторі рівняння відрізка близьке до експоненціалу:

$$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$$

Якщо у нас є аналітична рецептура для цього сегмента, її легко інтегрувати:

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$$

і

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$$

Це трохи схоже на обман, але це вибірка в просторі журналу журналу таким чином, що ми можемо наблизити функцію в лінійному просторі до експонента з параметрами, отриманими з простору журналу журналу.

Я використовую рішення - це в основному реалізація правила трапеції та використовує scipy.misc.logsumexpфункцію підтримки точності. Якщо у вас є якась функція, lnyяка повертає логарифм yтоді, ви можете це зробити, наприклад:

з імпорту scipy.misc logsumexp
імпортувати numpy як np

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# отримати значення x, розташованих логарифмічно
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10000)

# оцініть свою функцію в xvs
lys = lny (xvs)

# виконати інтеграцію правил трапеції
deltas = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logsumexp ([logsumexp (lys [: - 1] + deltas), logsumexp (lys [1:] + deltas)])

Значення logI- це журнал інтегралу, який ви хочете.

Очевидно, це не вийде, якщо вам потрібно встановити xmin = 0. Але якщо у вас є якась ненульова позитивна нижня межа інтеграла, ви можете просто пограти з кількістю точок, xvsщоб знайти число, де інтеграл сходиться.