Чому в FEM чому визначена матриця жорсткості?

10

У класах FEM зазвичай прийнято вважати, що матриця жорсткості є позитивно визначеною, але я просто не можу зрозуміти, чому. Хтось може дати пояснення?

Наприклад, ми можемо розглянути проблему Пуассона:

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$ матриця жорсткості якої:

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ що є симетричним і позитивним певним. Симетрія - це очевидна властивість, але позитивна визначеність для мене не така явна.

finite-element matrix stiffness

— user123
джерело

1

Це насправді залежить від часткового диференціального рівняння, яке ви намагаєтеся вирішити. Чи можете ви додати того, хто вас цікавить?

— Крістіан Класон

Привіт, @ChristianClason, дякую за Ваш коментар. Я додав конкретний приклад цієї проблеми.

— користувач123

3

Попередження: Без граничних умов повна матриця жорсткості системи, зібрана з матриць елементів, не має повного рангу, оскільки вона повинна відображати еквівалент жорстких рухів тіла до нульових сил. Таким чином, матриця повної жорсткості в кращому випадку може бути позитивною напівдефінітією. Однак при належних граничних умовах жорсткі рухи тіла вимикаються, а обмежена система - тоді неоднорідна. (Інакше вирішити це не вдалося). Тому, щоб знайти фактичну позитивну визначеність, ви повинні подивитися на конденсовану матрицю, отриману в результаті застосування граничних умов.

— ccorn

13

Властивість випливає із властивості відповідного (слабкої форми) часткового диференціального рівняння; це одна з переваг методів кінцевих елементів у порівнянні, наприклад, з методами кінцевих різниць.

Щоб побачити це, спочатку нагадайте, що метод кінцевих елементів починається зі слабкої форми рівняння Пуассона (я припускаю, що тут граничні умови Діріхле): Знайдіть $u\in H^1_0(\Omega)$ такий як

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$ Тут важлива властивість

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$ (Це випливає з нерівності Пуанкаре.)

Тепер класичний підхід з кінцевими елементами полягає в заміні нескінченномірного простору на кінцевомірний підпростір і знайти таким, що Важливою властивістю тут є що ви використовуєте той самий і підпростір ( відповідна дискретизація); це означає, що у вас все ще є $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Тепер останній крок: Для перетворення варіаційної форми системи лінійних рівнянь, ви вибираєте базис з , записи і вставити , в . Матриця жорсткості тоді має записи (що збігається з написаним вами). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Тепер візьміть довільний вектор і встановіть . Тоді ми маємо і білінеарність (тобто ви можете переміщувати скаляри та суми в обидва аргументи) Оскільки було довільним, це означає, що є позитивним певним. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Матриця жорсткості є позитивно визначеною, оскільки вона походить від узгодженої дискретизації (самосуміжного) еліптичного часткового диференціального рівняння .

— Крістіан Класон
джерело

2

Якщо жорсткість елемента не позитивна, то система не є стабільною. Тож модель, швидше за все, неправильна. Подивіться на найосновніше рівняння гармонічного осцилятора

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Розв’язок нестабільний, якщо негативний (подивіться на корені характерного рівняння). Це означає, що розчин підірветься. Жорсткість повинна бути відновлюючою силою. Принаймні для фізичної весни. Матриця жорсткості поширює це на велику кількість елементів (глобальна матриця жорсткості). Це все. Але це та сама основна ідея. Основа FEM знаходиться в методі матриці жорсткості для структурного аналізу, де кожен елемент має пов'язану з ним жорсткість. $k$

— Насер
джерело