точкове порівняно з постійними спостереженнями в звороті задачі PDE

Я працюю над зворотною проблемою для свого доктора наук. дослідження, для простоти якого ми скажемо, це визначення в$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

з деяких спостережень ; - константа і відома. Зазвичай це формулюється як проблема оптимізації для екстремізаціїk 0$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

де - множник Лагранжа. Функціональну похідну щодо можна обчислити, розв’язавши суміжне рівнянняJ $\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Деякі регуляризуючі функціональні додаються до проблеми із звичайних причин.$R[\beta]$

Тут невисловлене припущення полягає в тому, що спостережувані дані визначаються безперервно у всій області . Я думаю, що для моєї проблеми може бути більш доречним використання замість цього$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

де - точки, в яких проводяться вимірювання, а - це стандартне відхилення -го вимірювання. Вимірювання цього поля часто плямисті та відсутні шматки; навіщо інтерполювати, щоб отримати безперервне поле сумнівної вірності, якщо цього можна уникнути?σ n$x_n$$\sigma_n$$n$

Це дає мені паузу, оскільки суміжне рівняння стає

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

де - функція дельти Дірака. Я вирішую це за допомогою кінцевих елементів, тому в принципі інтеграція функції фігури проти дельта-функції означає оцінку функції форми в цій точці. Тим не менш, питання регулярності, мабуть, не слід випускати з рук. Я найкраще здогадуюсь, що цільовий функціонал слід визначати з точки зору наближення кінцевого елемента до всіх полів, а не з точки зору реальних полів, а потім дискретизувати після.$\delta$

Я не можу знайти порівняння припущення безперервних або точкових вимірювань в обернених задачах в літературі, ні стосовно конкретної проблеми, над якою працюю, ні загалом. Часто точкові вимірювання застосовуються без жодної згадки про проблеми, що виникають, наприклад, тут . Чи є яка-небудь опублікована робота, що порівнює припущення про безперервні та точкові вимірювання? Чи повинен мене хвилювати дельта-функції у точковому випадку?

Вимірювання цього поля часто плямисті та відсутні шматки; навіщо інтерполювати, щоб отримати безперервне поле сумнівної вірності, якщо цього можна уникнути?

Ви абсолютно праві - більшу частину часу інтерполяція у безперервне поле, що охоплює весь домен, не є можливим. Подумайте про проблеми прогнозування погоди, де вимірювання (точкові джерела) доступні лише у вибраних місцях домену. Я б сказав, що точні дані є швидше нормою, ніж винятком, якщо враховувати зворотні проблеми "реального життя".

Я найкраще здогадуюсь, що цільовий функціонал слід визначати з точки зору наближення кінцевого елемента до всіх полів ( дискретизувати-потім-оптимізувати ), а не з точки зору реальних полів, а потім дискретизувати після ( оптимізувати-потім-дискретизувати ).

Два підходи не рівноцінні (за винятком дуже простих проблем). Існує велика кількість літератури, яка порівнює два підходи (кожен зі своїми перевагами та недоліками). Я хотів би вказати вам на монографію Макса Гунзбургер (зокрема в кінці глави 2).

Чи є яка-небудь опублікована робота, що порівнює припущення про безперервні та точкові вимірювання? Чи повинен мене хвилювати дельта-функції у точковому випадку?

Ви можете точно представити початкові терміни - а саме ваш вихідний термін буде моделюватися як (дискретний наближення до а) розподілу Дірака [ Arraya et al., 2006 ], або ви можете наблизити термін до джерела за допомогою якоїсь регульованої функції (як це робиться , наприклад, методом зануреної межі ). Погляньте (для початку) на цей останній документ Hosseini et al. (та посилання на них).

Для розширення відповіді на @ GoHokies: Якщо вас цікавлять питання щодо регулярності, ви також можете задати, що насправді "точкові вимірювання". У фізичній практиці ви не можете нічого виміряти в "точці". Швидше, ви завжди збираєтесь отримати якусь середню величину за якийсь фрагмент простору-часу: термометр - це не точка, а розширений об’єкт, і потрібен час, щоб пристосуватися до температури середовища навколо нього; прилад для вимірювання концентрації потребує кінцевого розміру проби; тощо.

Математично це означає, що дельта-функції у вашому функціоналі насправді є середніми для досить малих областей та / або часових інтервалів. Отже, праворуч у подвійному рівнянні також є кінцевим, і жодних питань щодо закономірності не виникає.

Звичайно, на практиці ви, як правило, не зможете вирішити невеликий простір або часовий інтервал, на який ви вимірюєте сітку з кінцевими елементами. Тобто, на масштабах довжини ви можете вирішити, права рука робить погляд однини, а отже, робить рішення. Але, оскільки ви вже вводите помилку дискретизації, ви також можете регулювати характеристичну функцію гучності, над якою ви вимірюєте, за допомогою дискретного наближення з однаковою вагою; якщо ви зробите це правильно, ви введете помилку, яка не більша за помилку дискретизації, на користь отримання ідеально гарної функції правої руки для (дискретного) подвійного рівняння.