Корисність елементів із стійкістю до сітки

Виконуючи математику, пов’язану зі стійкістю елементів у задачі 3D Стокса, я був трохи шокований, зрозумівши, що не є стабільним для довільної тетраедричної сітки. Точніше, якщо у вас є елемент, де всі вузли і три з чотирьох граней лежать на межі домену з умовою Діріхле, ви отримуєте сингулярну матрицю. Це насправді досить тривіально, щоб зробити висновок із слабкої форми системи Стокса. $P_2-P_1$

Я протестував єдиний комерційний код Стокса, до якого я маю доступ (COMSOL), і він дозволив мені створити таку мережу. Після натискання рішення я отримую "Помилка: сингулярна матриця", як очікувалося. (Я маю враження, що COMSOL використовує для свого модуля повзучого потоку.) $P_2-P_1$

Щоб додатково перевірити, що проблема не була пов'язана з іншими конфігураціями, я спробував наступну сітку і все працює як очікувалося.

Запитання: Чи враховується такий вид обмежень у (адаптивних або неадаптивних) сітчастих генераторах? З різних наукових праць я бачу, що цей елемент здається досить популярним. Чи загалом ці граничні нестабільності не враховуються як незначні при виборі методу використання? Що ще важливіше, що насправді означає стабільний кінцевий елемент , тобто які нестабільності від сітки є занадто великими, щоб ми зробили висновок про поганий метод?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— кнл
джерело

Цікаве запитання! Наскільки я бачу, ці елементи, як правило, є результатом структурованої тетраедричної сітки на кубиках, і вони грають лише незначну роль у реальних програмах, де у вас є неструктуровані алгоритми нодалізації. Я трохи пробував деякий час тому і не зміг створити таку сітку з сітчастим генератором, що виробляє повністю неструктуровані сітки. Я підозрюю, що вони використовують механізм уникнення таких надмірних елементів. У мене немає доступу до COMSOL, але я думаю, що для більшості вирішувачів цей елемент не становить значної проблеми.

— Крістіан Валуга

Цікаво, чи це теж проблема з елементом MINI?

— Даніель Шаперо

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Сітчасті генератори зазвичай мають можливість впоратися з цим, наприклад, 2D сітки генератор bamgз freefem++має -splitpbedgeваріант , який додає вузол в середині будь-якого ребра , що має обидва кінці на кордоні. Згідно з bamgдокументацією, неструктурована мережева генерація може повертати такі трикутники.

— Жарт
джерело

Ви впевнені, що це стосується, наприклад, Тейлора-Гуда в 2D Stokes? Моя інтуїція підказує мені, що DOF, пов'язаний з краєм, рятує ситуацію там. У 3D Taylor-Hood немає DOF, пов'язаного з фасетом, і отже, виникає нестабільність.

— кнл

Ти маєш рацію, це може бути так. Я вважаю, що доказ Верфурта щодо умови інфляції для Тейлора-Гуда є достатньо конструктивним, щоб перевірити це, але зараз немає часу.

— Джоце