Що дає аналіз стійкості Фон Неймана про нелінійні рівняння кінцевих різниць?

9

Я читаю статтю [1], де вони вирішують таке нелінійне рівняння

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$ з використанням методів кінцевих різниць. Вони також аналізують стійкість схем, використовуючи аналіз стійкості Фон Неймана. Однак, як розуміють автори, це стосується лише лінійних PDE. Тож автори вирішують це, «заморожуючи» нелінійний термін, тобто замінюючи його

u u_{x}

$uu_x$ термін с

U u_{x}

$Uu_x$ , де

U

$U$ вважається, що представляє локально постійні значення

u

$u$ . "

Отже, моє запитання двояке:

1: як інтерпретувати цей метод і чому він (не) працює?

2: чи можемо ми також замінити $uu_x$ термін з $uU_x$ термін, де $U_x$ вважається, що представляє локально постійні значення $u_x$ "?

Список літератури

Ейльбек, Джорджія та ГР Макгуайер. "Числове дослідження регуляризованого довгохвильового рівняння I: чисельні методи." Журнал обчислювальної фізики 19.1 (1975): 43-57.

— Мисливець
джерело

1

Ви неправильно ввели рівняння. Рівняння у статті є рівнянням RLW.

— Омер

3

Питання, пов’язані з цим, без повних відповідей: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Я думаю, що евристично кажучи, це має працювати, тому що ви зацікавлені в стабільності дуже високочастотних режимів (при яких виникають помилки, довжина хвилі на порядок відстані між сітками), тоді як саме рішення замість цього буде змінюватися зі значно меншою частотою, тому нормально заморожувати коефіцієнти та вивчати стабільність заморожених коефіцієнтів PDE.

— Кирило

2

Я дав відповіді на деякі питання, пов’язані Кирилом. На жаль, я не знаю жодних результатів для рівняння RLW, але, ймовірно, стабільність може бути доведена до тих пір, поки рішення буде досить гладким.

— Девід Кетчесон

1

Те, що ви говорите, називається лінеаризацією. Це поширена методика, що використовується при аналізі нелінійних PDE. Що робиться - це формувати рівняння у форматі,

$u_t+Au=0$

Тут A - матриця, що виникає внаслідок лінеаризації рівняння.

Тепер до ваших питань,

Як ви думаєте, це працює певною мірою, але не в якійсь іншій мірі. Корисність полягає в тому, що стабільність можна довести для лінійних систем, але не легко для нелінійних систем. Отже лінійні результати поширюються на нелінійні системи. Часто для конкретних випадків застосовуються різні методи. Наприклад,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

яка є формою збереження. Тому,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

при представленні в кінцевому обсязі сенс дає обмеження еволюції u.

У чому полягає корисність заміни. Ви вилучите рівняння з форми хвильового рівняння. Що означало б, що рішення не поводитимуться як хвильове рівняння. Отже, в аналізі стійкості тестові рішення повинні були бути зовсім іншими і нефізичними.

— Вікрам
джерело

2

Щоб детальніше зупинитися на аргументі лінеаризації, в uu_x ви хочете припустити, що u локально постійний, а не u_x з двох причин: а) u змінюється повільніше, ніж його похідна, і b) у цьому конкретному випадку, якщо припустити, що u_x локально постійний , за визначенням ви також припускаєте, що u є локально лінійним, що означає, що похідні більшої площі дорівнюють нулю, і це не тільки вводить додаткову помилку наближення, але це може означати, що ви можете викинути дитину разом з водою, залежно від рівняння.

— Домінго Тавелла
джерело