Як я можу вивести обмеження на помилкові коливання в числовому розв’язку 1D рівняння адвекції?

9

Припустимо, у мене була така періодична проблема 1D advection:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ в $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
де $g(x)$ має перерив стрибка при $x^*\in (0,1)$ .

Наскільки я розумію, що для лінійних кінцевих різницевих схем вищого, ніж першого порядку, помилкові коливання виникають поблизу розриву, оскільки воно зменшується в часі, внаслідок чого розчин спотворюється від очікуваної форми хвилі. Відповідно до пояснення wikipedia , схоже, що ці коливання, як правило, виникають, коли переривчаста функція наближається до кінцевого ряду фур'є.

З якихось причин я не можу зрозуміти, як у рішенні цього PDE можна спостерігати кінцевий ряд фур'є. Зокрема, як я можу аналітично оцінити обмеження на "перестрілку"?

pde finite-difference advection

— Пол
джерело

11

Спосіб попереднього виходу першого порядку - монотонний; він не вводить помилкових коливань. Але це лише перший порядок точний, що призводить до такої чисельної дифузії, що непридатною для багатьох цілей. Теорема Годунова стверджує, що лінійні просторові дискретизації вищого за перше порядку не можуть бути монотонними. Для жорсткого контролю коливань ми використовуємо схеми зменшення загального варіації (TVD) . Методи TVD зазвичай обмежуються точністю другого порядку. Для вищого порядку ми або повинні послабити наш запит, що призводить до методів тотальної варіації (TVB), таких як (зважене) істотне не осциляторне ((W) ENO), або ми повинні розслабити визначення TVD до "збереження максимального принципу" або подібне, де початкова екстремальність стосується початкового реконструйованого рішення, в результаті чогоспеціальні обмежувальні схеми .

— Джед Браун
джерело

Мої вибачення ... чомусь у мене склалося враження, що це стосується і схеми першого замовлення. Я відредагував питання, щоб відобразити цей коментар.

— Павло

5

Лінійна дискретизація кінцевої різниці 1D задачі з періодичними межами призводить до дискретизації форми

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

де $L$ являє собою циркуляційну матрицю . Власні вектори будь-якої матриці циркуляції - це дискретні режими Фур'є

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$ (тут

h

$h$ - інтервал між сітками та

ξ

$\xi$ - хвильовий номер, який становить від нуля до найвищого хвильового числа, представленого в сітці). Ці власні вектори складають основу для всіх функцій, які можуть бути представлені в сітці. Якщо висловити рішення в рамках цих дискретних режимів Фур'є, то числовий метод діагоналізується, тобто кожен компонент Фур'є множиться на (як правило, складний) скалярний коефіцієнт на кожному кроці. Скалярний фактор часто називають коефіцієнтом посилення, і те, що я нещодавно описав, відоме як аналіз фон Неймана . Це аналогічно Фур’є-аналізу лінійних PDE, в якому використовується основа Фур'є для "діагоналізації" лінійних диференціальних операторів.

Приємні пояснення ви можете знайти, наприклад, у тексті Strikwerda або LeVeque .

— Девід Кетчесон
джерело

Мені знайомий аналіз фон Неймана. Але чи можу я реально використовувати цей аналіз, щоб встановити обмеження на помилкові коливання?

— Павло

Я відповідав, головним чином, на ваше твердження, я не можу зрозуміти, як у вирішенні цього PDE може спостерігатись кінцевий ряд фур'є. Але так, ви можете отримати такі межі з цього аналізу. Наприклад, ви можете подивитися на найгірший сеценарій, в якому конструктивно втручаються всі режими. Однак це, ймовірно, буде дуже песимістичним. На практиці я не бачив, щоб хто-небудь отримував межі, окрім TVD або TVB (які досить сильні і не дотримуються лінійних схем).

— Девід Кетчесон

Можливо, ви могли б отримати більш цікавий зв’язок, подивившись на співвідношення дисперсії для найвищих режимів хвилі. Але я ніколи не бачив цього робити.

— Девід Кетчесон

2

Не всі помилкові коливання - це явища Гіббса. Вони схожі, але існують коливання Гіббса для всіх кінцевих наближень Фур'є від розривних функцій (вони просто зменшуються, якщо додавати більше термінів). Тоді як існують не коливальні уявлення про переривчасті функції, що є результатом рішення кінцевих різницьких наближень до PDE, які не потребують нескінченного ряду.

Bathe ( Inf-sup тестування вітрових методів , PDF) має документ про це для методів кінцевих елементів (конвекція-дифузія, IIRC) в 1-D, що включає обчислення константи для $\inf$ - умова та пов'язане з коливаннями. Ви можете отримати деяке розуміння з цього. $\sup$

— Білл Барт
джерело

3

Це корисний папір, але зауважте, що стабільність припливу не забезпечує сильний контроль коливань. Наприклад, жодна кількість стабільності інфляції не може забезпечити метод TVD. І зважаючи на теорему Годунова, немає сенсу шукати лінійні просторові дискретизації, якщо ми маємо намір мати коливальні рішення, що перевищують перший порядок. Зауважте, що номер Пеклета відображається у всіх методах у цій статті, і методи деградують до точності першого порядку як , при цьому також не є TVD.

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Джед Браун

Це все правдиві твердження. Це дійсно стосується лише конвекційно-дифузійних проблем.

— Білл Барт

2

Що стосується вашого останнього запитання про зв’язок між кінцевими рядами Фур'є та наближенням кінцевих елементів: Взагалі, якщо ви намагаєтеся спроектувати функцію зі стрибком на кінцево-розмірний простір, основні функції якого є безперервним, ви отримуєте явище Гіббса. Це справедливо, якщо основою є скінченний ряд Фур'є (де основою є функції синуси та косинуси) або якщо основою є звичайні функції кінцевих елементів капелюшків - це властивість проекції плюс непридатність базових функцій.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Я щасливий, що виявився невірним, оскільки я абсолютно не в практиці, але я не купую ваш коментар щодо проекцій на функції капелюхів без додаткової кваліфікації. Мої швидкі обчислення з використанням мого старого 1-D коду MATLAB з мого першого курсу FEM показують, що проекція крокової функції на за допомогою функцій капелюха не коливальна. Чи є у вас приклад, який може показати, що мені не вистачає?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Білл Барт

Не звертай уваги. Старий код старий. Я можу відтворити коливання. Попередній коментар відкликаний.

— Білл Барт

Я радий, що можу допомогти :-)

— Вольфганг Бангерт

0

Один із підходів - через еквівалентне рівняння, тобто диференціальне рівняння, до якого ваш дискретний метод дає найближчу апроксимацію. Це ніколи не є диференціальним рівнянням, яке ви мали намір вирішити. Потім ви дивитесь на асимптотичне рішення еквівалентного рівняння для крокової функції як вихідних даних. Подивіться на Bouche, D., Bonnaud, G. and Ramos, D., 2003. Порівняння числових схем для розв’язання рівняння advection. Літери прикладної математики, 16 (2), стор.147-154.

— Філіп Ро
джерело