Використання силових карт серії

Я з області фізики прискорювачів, конкретно пов'язаних з круговими накопичувальними кільцямидля синхротронних джерел світла. Електрони високої енергії циркулюють навколо кільця, керуючись магнітними полями. Електрони циркулюють в мільярди разів і хочеться передбачити стабільність. Ви можете описати рух електронів в одній точці кільця з точки зору фазового простору (положення, простір імпульсу). Кожного повороту навколо кільця частинка повертається у нове положення та імпульс, і це визначає карту у фазовому просторі під назвою "одноповоротна карта". Ми можемо припустити, що у джерела існує фіксована точка, і тому її можна розширити в силовому ряду. Таким чином, хочеться знати про стабільність ітераційних карт силових рядів. З цим виникає багато важких питань, а тема має давню історію. Було реалізовано чимало бібліотек - для впровадження так званої «Алгебри усіченої енергетичної серії». (Див. Напрця стаття про зліб Ю. Яня. Більше інформації про фізику та один підхід до аналізу - це підхід у звичайній формі, наприклад, Bazzani et al. ін. тут .) Питання полягає в тому, як використовувати таку бібліотеку та як вирішити проблему стабільності. Основним підходом, застосовуваним у динаміці променів, був звичайний аналіз форми, який, я не вважаю, був успішним. Цікаво , якщо якийсь - то з спектральних методів були розроблені і в інших областях (можливо , уздовж ліній що - щось на зразок цього?). Чи може хтось подумати про іншу сферу, де аналізується довгострокова стабільність ітераційних карт силових рядів із фіксованою точкою на початку, щоб ми могли поділитися знаннями чи отримати нові свіжі ідеї? Одним із відомих мені прикладів є робота Фішмана та "Режими прискорення" в атомній фізиці. Є інші? Які ще системи можна моделювати як ударний ротор або карту Хенона?

algorithms polynomials

— Боаз
джерело

Я думаю, що може бути корисним трохи детальніше розглянути свою термінологію. Наприклад, я знайомий з усіма згаданими вами математичними поняттями, але я не можу повністю уявити, що ви маєте на увазі в цьому контексті, "карта фазового простору". Я впевнений, що у вашій конкретній галузі це не потребує пояснень, але люди з інших спеціальностей можуть зрозуміти, що насправді знають, як допомогти вам, якщо ви зробите трохи більше пояснення того, що ви маєте на увазі.

— Колін К

Це насправді хороший момент: оскільки, мабуть, цей сайт буде збирати людей з різних наукових дисциплін, особливо важливо буде визначити конкретні поняття (або принаймні посилання на пояснення).

— David Z

Домовились, Коллін та Девід. Дякуємо за коментарі. Фазовий простір - це простір імпульсу положення. Подумайте про одне положення в кільці, і електрон має поперечне положення і імпульс (швидкість). Після того, як він обійде кільце один раз, воно матиме нове положення та швидкість. Так його називають однобічною картою. Якби він був лінійним, це було б як гармонійний осцилятор, який вистежує еліпс у фазовому просторі. У випадку, коли його кругова, карта мала б вигляд x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 і p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. Це уточнює?

— Боаз

Я додав декілька посилань на літературу з фізики променів та обчислень, і додав коротке визначення фазового простору.

— Боаз

До речі, подібне запитання я задав і на Stack Exchange, Mathematics, тут . Там я розпитував про рішення питання про стабільність з математичної точки зору. Тут мені було цікаво, чи є така ж проблема і в інших наукових предметах, оскільки вона здається дещо загальною, але вона не була пов'язана з великою кількістю поза динамікою пучка. Я знаю про одну область - прискорювальні режими в атомній фізиці. Є інші?

— Боаз

Відповіді:

Ви, напевно, це вже знаєте, але це звучить як щось із світу теорії хаосу та фракталів? (отже, обчислювально "важко")

На ваше запитання ви подивилися на світ планетарної механіки та проблеми з N-тілом? Вони також змушені використовувати ітеративні рішення, і основна фізика, що лежить в основі, - N ^ 2, хоча джерелам сили, як правило, дозволяється також переміщатися - просто для подальшого ускладнення.

Давно я переглянув їх, але ваша згадка про фазові карти стабільності дуже схожа на Henon Maps. Я впевнений, що вони повинні мати більш широке застосування, але вони зазвичай описуються з точки зору планетарної стійкості (наприклад, стійкість другого Місяця в системі планети-Місяця).

— winwaed
джерело

Так, карта Хенона - це саме те, що ми маємо в динаміці пучка прискорювача. Проблема аналогії з проблемою N-тіла полягає в тому, що там простору значно більше. "Фазовий простір" є розмірним 6xN, тоді як для однієї частинки в накопичувальному кільці це просто 6-мірний у загальному випадку. Мені цікаво, які інші домени закінчуються чимось на зразок карти Хенона для моделювання динаміки. По маршруту теорії хаосу я також задумався вивчити теорію динаміки чисельності населення. Дякую за відповідь.

— Боаз

Ви можете розглянути асимптотичну поведінку дискретних динамічних систем . Існує як багата теоретична література на цю тему з математики, так і більш прикладна література з фізики та інформатики.

— MRocklin
джерело

Дякую Мроклін. Я трохи роздивився загальну літературу і не знайшов рішення, а може, це було занадто математичним, і я не знайшов тієї самої проблеми, яку я міг би зрозуміти.

— Боаз

Ось деякі питання з цього поля: (1) Чи формуєте ви орбіти - тобто після декількох ітерацій ви повертаєтесь до того ж місця? (2) Чи чутлива ваша система до невеликих збурень - тобто якщо ми почнемо стан трохи від вашого стартового стану, чи закінчиться він у дико іншому місці? (3) Чи деякі збурення діють дико, тоді як інші приручені? Надання відповідей на подібні запитання може дати деяке розуміння властивостей вашої фізичної системи.

— MRocklin

(1) Близько від початку динаміка стабільна і утворює замкнуті орбіти. Виходячи далі, іноді знаходять інші острови стабільності. А потім ще більше, динаміка нестабільна, тобто не обмежена. (2) Деякі аспекти є чутливими, а деякі - ні. Стійкі орбіти не настільки чутливі до будь-яких збурень. (3) Збурення, як правило, періодично діють з деякою частотою. Деякі частоти викликають резонанси, що може різко змінити динаміку навіть для невеликих збурень. Але знати заздалегідь, які такі частоти небезпечні, недостатньо зрозуміло.

— Боаз

Можливо, буде корисно вивчити методи моделей Тейлора; це здається приємною оглядовою статтею. Спробуйте, якщо COZY нескінченність може робити те, що ви хочете.

— Ерік П.
джерело

Дякую Еріку. Так, я дещо знайомий із КОЗИЧНОЮ нескінченністю. Стаття, на яку ви посилаєтесь, виглядає корисною для огляду методів використання ряду потужностей для обчислення різних функцій та пошуку меж помилок тощо. Однак моє питання стосується того, які системи (крім кругових накопичувальних кілець) можуть моделюватися серіями живлення та як можна вирішити для області стабільності. Я не думаю, що звичайні методи форми можуть це зробити, наприклад. Це було впливовою темою в динаміці променів, але я не бачу, що це вирішило проблему.

— Боаз