Монтаж непрямих поверхонь до наборів орієнтованих точок

У мене виникає запитання щодо квадричної підгонки до набору точок та відповідних норм (або в еквіваленті дотичних). Встановлення квадричних поверхонь для точкових даних добре вивчено. Деякі роботи такі:

Пряме встановлення квадратних поверхонь , обмежене типом , Джеймс Ендрюс, Carlo H. Sequin Комп'ютерний дизайн та додатки, 10 (a), 2013, bbb-ccc
Алгебраїчна відповідність квадричних поверхонь даним , І. Аль-Субайхі та Г. А. Ватсон , Університет Данді

Пристосування до проективних контурів також висвітлено в деяких роботах, наприклад, у цьому .

З усіх цих робіт я вважаю, що метод Таубіна для квадричної підгонки досить популярний:

Г. Таубін, "Оцінка плоских кривих, поверхонь та непланарних кривих просторів, визначених неявними рівняннями, із додатками для сегментації зображень на край та діапазон ", IEEE Trans. PAMI, Vol. 13, 1991, pp1115-1138.

Дозвольте коротко підсумувати. Квадрик $Q$ можна записати в алгебраїчній формі:

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ де

c

$\mathbf{c}$ - вектор коефіцієнта і

x

$\mathbf{x}$ - тривимірні координати. Будь-яка точка

x

$\mathbf{x}$ лежить на квадриці

Q

$Q$ якщо

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ , де:

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

Алгебраїчна придатність В принципі ми хотіли б вирішити для параметрів, що мінімізують суму геометричних відстаней у квадраті між точками та квадратичною поверхнею. На жаль, виявляється, що це проблема неопуклої оптимізації без відомих аналітичних рішень. Натомість стандартним підходом є рішення алгебраїчного прилягання, тобто рішення для параметрів $\mathbf{c}$ що мінімізують:

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ при

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ де

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ - точки в точковому хмарі і

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

Зауважте, що така пряма мінімізація дала б тривіальний розчин з початком $\mathbf{c}$ . Це питання широко вивчено в літературі. Однією з резолюцій, за якою було виявлено, що вона добре працює на практиці, є метод Таубіна (цитований вище), що вводить обмеження:

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

Це можна вирішити так: Нехай: де підписники позначають похідні. Рішення задається узагальненим розладом Ейгена, . Вектор найбільш відповідного параметра дорівнює власного вектора, що відповідає найменшому власного значення.

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

Основне питання У багатьох програмах наявні (або обчислюються) норми хмарної точки. Нормалі квадрата можна також обчислити, диференціюючи та нормалізуючи неявну поверхню: $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$

де

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

Однак метод Таубіна використовує лише геометрію точок, а не дотичний простір. І я не знаю багатьох методів, які підходять для пристосування квадриків, так що дотичні квадрика також відповідають дотичній нижній точці хмари. Я шукаю можливі розширення способу, описаного вище, або будь-якого іншого для покриття цих похідних першого порядку.

Чого я хотів би досягти, можливо, це стосується частково в просторах нижчих розмірів, з більш примітивними поверхневими (кривими) типами. Наприклад, розміщення ліній для ребер зображення, враховуючи інформацію про градієнт, охоплюється тут . Площини підгонки (простий тип квадрика) до 3D-хмари є дуже поширеною ( посилання 1 ), або облягаючі сфери або циліндри можуть бути пристосовані до орієнтованих точкових наборів ( посилання 2 ). Тож те, що мені цікаво, щось подібне, але притаманний примітив - це квадрик.

Я також вітаю аналіз запропонованого методу, такий як:

Яка мінімальна кількість орієнтованих балів потрібна?
Які випадки виродження?
Чи можна щось сказати про стійкість?

Оновлення : Я хотів би представити напрямок, який слід виконувати. Формально я хочу досягти:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ у точці . Може бути можливим сплавити його методом Таубіна, щоб створити додаткове обмеження та мінімізувати використання множників Лагранжа?

x

$\mathbf{x}$

— Толзький птах
джерело

Чи не багато елементів Q неправильно розміщені в Q?

— Помітно

Ви маєте рацію, і я зараз це виправив.

— Толга Бердал

Відповіді:

Я був здивований тим, що не отримав задовільної відповіді на вищезазначене запитання, і мої дослідження показали мені, що це дійсно невивчена область. Отже, я доклав певних зусиль у розробці рішень цієї проблеми і опублікував такі рукописи:

Т. Бірдал, Б. Бусам, Н. Наваб, С. Іліч та П. Штурм. "Мінімалістичний підхід до типово-агностичного виявлення квадриків у точкових хмарах." Матеріали конференції IEEE з питань комп'ютерного зору та розпізнавання образів. 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic та P. Sturm, "Загальне примітивне виявлення в точкових хмарах з використанням нове мінімальних квадричних пристосувань" в транзакціях IEEE з аналізу візерунка та машинного інтелекту. https://arxiv.org/abs/1901.01255

Я коротко торкнуся основної ідеї тут:

Цей підхід схожий на градієнт-один примірник ( ). Вирівнюємо вектор градієнта квадратика з нормаллю хмарної точки . Однак, на відміну від підходить, ми вирішили використовувати лінійне обмеження для збільшення ранжу, а не регуляризації рішення. Це, здавалося б, нетривіально, оскільки вирівнювання вектор-вектор приносить нелінійне обмеження будь-якої з форм: $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ Нелінійність обумовлена нормалізацією, оскільки важко знати заздалегідь величину і, отже, однорідну шкалу. Ми вирішуємо це питання, вводячи серед невідомих нормальну однорідну шкалу і записуючи: where складання цього параметра для всіх точок та нормалів призводить до системи форми :

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$ - \ mathbf {n} _n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} A \\ B \\ \ vdots \\ I \\ J \\ \ alpha_1 \\ \ alpha_2 \\ \ vdots \\ \ alpha_n \ end { bmatrix} = \ mathbf {0} \ end {рівняння} де , - a

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$ стовпець вектора нулів, дорівнює а - невідомі однорідні шкали.

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

Хоча рішення цієї рецептури, що лежить у просторі нулів дає прийнятні результати, система є досить нестримною у тому, що могла зробити (масштабні фактори занадто вільні). Краще знайти відповідний регуляризатор, який також не надто складний у виконанні. На практиці, повторившись аналогічно встановленню градієнта-один, ми могли б віддати перевагу поліноміальним градієнтам одиничної норми, і, таким чином, можна записати або еквівалентно , один загальний масштабний коефіцієнт. Це м'яке обмеження $\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ спробує змусити нульовий набір полінома відносно локальної безперервності даних. Така регуляризація також рятує нас від вирішення чутливої однорідної системи і дозволяє переписати систему у більш компактній формі : $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

Загалом, розв’язування цієї системи рівнянь буде одночасно направляти квадрик, який буде інцидентом, до точки хмари, вирівнюючи його градієнти до нормалей. Також можна по-різному зважувати внески балів і норм. У певних випадках для отримання типового пристосування достатньо незначного оновлення адаптованого до потрібного примітиву. З усіма цими деталями, а також деяким теоретичним аналізом та псевдокодом я посилаюсь на вищезгадані публікації. $\mathbf{A}$

— Толзький птах
джерело

Це чудово! Як можна змінити А, щоб по-різному зважувати відносні внески балів і норм?

— Помітний

Просто помножте перші рядки, які є точковими рівняннями, на потрібну вагу. За бажанням, щоб масштабувати рядки, що відповідають нормалам, також потрібно було б масштабувати праву частину рівняння: .

n

$\mathbf{n}$

— Birdal Tolga

Дякую. Чи не слід переносити символ транспонування з q і n в останньому рівнянні?

— Помітний

Знову дякую. Вилучили їх.

— Толга Бердал

Я знаю один із прикладів, коли норми були включені в процедуру підгонки. Однак це не пряма квадратична підгонка. Локально параметризований патч підходить до точок та нормалей. Використання нормалів дає більше рівнянь у задачі про підгонку, що дозволяє використовувати поліноми вищого порядку.

Новий алгоритм кубічного порядку для наближення основних векторів напрямку

— Абхілаш Редді М
джерело

Дивіться також цей документ

Гермітова інтерполяція неявних поверхонь з радіальними основними функціями

і ist розширення

Ермітні радіальні основні функції, які зачіпаються

— lhf
джерело