Немонотонна збіжність у задачі з фіксованою точкою

Фон

Я вирішую варіант рівняння Орнштейна-Зерніке з теорії рідин. Абстрактно проблема може бути представлена ​​як розв’язування задачі з фіксованою точкою , де A - інтегро-алгебраїчний оператор, а c ( r ) - функція рішення (функція прямої кореляції OZ). Я вирішую ітерацію Пікарда, де надаю початкове пробне рішення c 0 ( r ) та генерую нові пробні рішення за схемою c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ де α - регульований параметр, який керує поєднанням c і A c, використовуваним у наступному пробному рішенні. Для цього обговорення припустимо, що значення α є неважливим. Я повторюю, поки ітерація не сходиться до потрібного допуску, ϵ : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ У моєму варіанті задачі A залежить від параметра λ , і моє питання про те, як конвергенція A c = c залежить від цього параметра. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Для широкого діапазону значень для наведена вище схема ітерації експоненціально швидко сходить. Однак у міру зниження λ я врешті-решт досягаю режиму, в якому конвергенція не є одноманітною, зображеною нижче. $\lambda$$\lambda$

Основні питання

Чи має монотонне зближення в ітеративних рішеннях задач з фіксованою точкою якесь особливе значення? Чи це сигналізує про те, що моя ітеративна схема знаходиться на межі нестабільності? Найголовніше , чи не монотонна конвергенція змусить мене підозріти, що "конвергентне" рішення не є хорошим рішенням проблеми з фіксованою точкою?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Якщо ваше рішення конвергується в межах належно встановленої відносної допуску, яка також враховує невелику кількість, то вона має