Загальноприйняті показники для кількісної оцінки неправильності трикутної сітки

Скажімо, у вас трикутна сітка на плоскій площині. Це було зроблено, щоб врешті-решт вирішити якусь проблему, наприклад, в механіці.

Сітка рівносторонніх трикутників є найкращою, оскільки відстані між вершинами та між центроїдами однакові у всьому. Це робить інтерполяцію та обчислення градієнтів легким і точним завданням. Однак через обмеження та обставини не завжди вдається працювати над сіткою всіх рівносторонніх трикутників.

Отже, питання стосуються сітки трикутних елементів довільної форми.

Щодо окремих елементів сітки . Які показники зазвичай використовуються для кількісної оцінки відмінності одного родового трикутника від деякої основної ідеальної рівносторонньої форми?

Щодо всієї сітки . Які показники використовуються для кількісного вимірювання неправильності сітки довільних трикутників у цілому? Ці показники повинні вказувати, наскільки зашифрована сітка.

Дякуємо, що подумали разом.

Примітка. Усі внески спільноти кінцевих елементів були високо оцінені. Для цього питання зауважте, що інтерес полягає у кількісному визначенні відмінностей у геометрії (довільний проти рівносторонніх трикутників). Подальший вплив на помилки інтерполяції та кондиціонування виходить за межі сфери. Зрозуміло, що вони можуть бути зрозумілими і актуальними, вони ускладнюють математичну обробку.

Як сказали @Nicoguaro та @Paul у коментарях до запитання, існує дуже багато способів зробити подібне, і я не впевнений, чи існує єдиний "найкращий" підхід.

З оглядового дослідження Джонатана Річарда Шевчука в Берклі відповідь така:

Будь ласка, зверніться до оригіналу документа (версія 31/12/2002) щодо символіки, термінології, спеціальних особливостей та, можливо, іншого (наприклад, тетраедри). Розділ 6 про заходи щодо якості. Документ, на який посилається, є розширеною версією, а на веб-сторінці JRS також є скорочена.

Особисто я прихильник метрики "об'єм-довжина". Це хороший скалярний скалярний показник якості (ізотропної) симплекса і його дешево обчислити. У двомірності:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

де - підписана область трикутника і- середньоквадратична довжина краю. Ідеальні елементи досягають , який зменшується до нуля зі збільшенням спотворення. Перевернуті елементи зі зворотною орієнтацією мають .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Для оцінки якості неструктурованої триангуляції типово переглядати гістограми таких показників якості елементів. Є безліч реалізацій таких речей там, але один прямолінійний MATLABкод-база шахти тут .

Крім балів за об’ємною довжиною, за замовчуванням також розраховуються гістограми елементів кутів та ступінь вершин.

Я не думаю , що існує відповідь на це питання в цілому , тому що все це залежить від передбачуваного використання сітки. Наприклад, якщо ви робите обчислювальну динаміку рідини, можливо, біля межового шару може бути сітка, яка є надзвичайно анізотропною. Тепер, якщо ви робите обчислювальну електромагніту, найкраща сітка буде, ймовірно, зовсім іншою.

У літературі є багато різних визначень для критерію "якість сітки". Більшість із них віддають перевагу сіткам з трикутниками, які є максимально рівносторонніми. Можна також згадати ідею максимізації найменшого кута (що реалізується триангуляцією Делоне для фіксованого набору точок). Це виправдано аналізом Джонатана Шевчука, згаданим в одному з коментарів, який пов'язує цей кут з номером умови матриці жорсткості для рівняння Лапласа, дискретизованого з елементами P1, але знову ж таки, залежно від призначеного використання, чиясь хороша сітка може бути комусь чужа бідна сітка.

Я не думаю, що має сенс "кількісно оцінювати відмінності в геометрії (довільні проти рівносторонніх трикутників)": перш ніж вимірювати, чи є трикутники рівносторонніми, і вирішувати, яке "рівносторонність відхилення wrt" є найкращим, слід з'ясувати чи «рівносторонні трикутники» - те, чого ми хочемо, і це не завжди так! Все це відбувається від "інтерполяції та обумовленості", яку ви згадуєте. Так, як ви сказали, "це ускладнює математичне поводження", але без цього неможливо зробити різницю між об'єктивними критеріями для даної програми та критеріями, які взагалі не мають сенсу.