Чому часовий вимір особливий?

24

Взагалі кажучи, я чув, як чисельні аналітики висловлюють цю думку

«Звичайно, з математичної точки зору, час це просто інший вимір, але все ж, час є особливим»

Як це виправдати? У якому сенсі час особливий для обчислювальної науки?

Більше того, чому ми так часто вважаємо за краще використовувати кінцеві відмінності (що ведуть до "кроку в часі") для часового виміру, тоді як ми застосовуємо кінцеві відмінності, кінцеві елементи, спектральні методи, ..., для просторових розмірів? Однією з можливих причин є те, що ми маємо тенденцію мати IVP у часовому вимірі, а BVP - у просторових вимірах. Але я не думаю, що це повністю виправдовує це.

pde discretization

— Патрік
джерело

23

Причинність свідчить про те, що інформація поступає лише вперед, і алгоритми повинні бути розроблені для використання цього факту. Часові схеми роблять це, тоді як глобальні за часом спектральні методи чи інші ідеї цього не роблять. Звичайно, питання полягає в тому, чому всі наполягають на використанні цього факту - але це легко зрозуміти: якщо у вашій просторовій проблемі вже є мільйон невідомих і вам потрібно зробити 1000 часових кроків, то для типової машини сьогодні у вас є достатньо ресурсів для вирішення просторова проблема сама по собі крокує за часом, але у вас не вистачає ресурсів для вирішення зв'язаної проблеми невідомих. $10^9$

Ситуація насправді не сильно відрізняється від тієї, що у вас є і з просторовими розмежуваннями транспортних явищ. Звичайно, ви можете дискретизувати чисте рівняння рівняння 1d, використовуючи глобально пов'язаний підхід. Але якщо ви дбаєте про ефективність, то, на сьогоднішній день, найкращим підходом є використання дальньої течії, яка передає інформацію від припливу до частини виходу домену. Це саме те, що вчасно діють схеми крокової роботи.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Це хороший момент ... пам'ять, безумовно, є головним обмеженням! :)

— Пол

Я, безумовно, бачу сенс, що причинно-наслідковий зв’язок природно виникає з кінцевими відмінностями, але не з "глобальним зв'язком". І навпаки, "методи зйомки" для вирішення БВП роблять навпаки. Це вносить небажану причинність. Аналітично кажучи, для певних рівнянь (наприклад, гіперболічні PDE другого порядку) необхідна причинність для унікальності. Однак у деяких випадках це не так, і я гадаю, що тоді цілком можна зробити спектральні методи вчасно. Як ви кажете, я думаю, що зменшення розміру системи також є великим. І має більше сенсу робити FD в часі, ніж в якомусь довільному просторовому вимірі.

— Патрік

8

Подібно до причинності, яку Вольфганг згадував у своєму дописі, ми могли бачити причину, чому часовий вимір є особливим з точки зору простору часу Міньковського: $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

-мірному простір має внутрішній продукт визначається як $(3+1)$ якщоі- дві 1-форми в просторі Міньковського: ,

(А, Б) = А_{х} Б_{х} + А_{у} Б_{у} + А_{z} Б_{z} - \frac{1}{c^{2}} А_{т} Б_{т}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$ визначається аналогічно, інтуїція, що стоїть за визначенням внутрішнього продукту (а точніше сказати, метрики), полягає у нав'язуванні ідеї абсолютної швидкості світла таким чином, що дві різні точки (події) у просторі часу мають нульову відстань (відбувається в "в той же час", як ми спостерігаємо рух галактик в мільярди світлових років, наче вони рухаються зараз), якщо вони перебувають на одному світлому конусі.

$c$ $(3+1)$

Можливо поза темою, але ще одна основна відмінність простору від простору та часу (еліптичне проти гіперболічного) полягає в тому, що більшість еліптичних рівнянь моделюють рівновагу та еліптичність дає нам «гарну» регулярність, в той час як у гіперболічних проблемах існують всілякі розриви (шок, розрідження, тощо).

EDIT: Я не знаю, що є спеціальна стаття про різницю, окрім того, як дати вам визначення, на основі того, що я дізнався раніше, типове еліптичне рівняння, як рівняння Пуассона або еластичність, моделює статичне явище, має "плавне" рішення, якщо дані і Межі області інтересів "гладкі", це пов'язано з еліптичністю (а точніше сказати позитивно визначеною властивістю) керуючого диференціального оператора, цей тип рівнянь призводить нас до дуже інтуїтивного підходу типу Галеркина (помножити тестову функцію та інтеграцію по частинах) добре працює типовий безперервний кінцевий елемент. Подібні речі стосуються параболічного рівняння, як рівняння тепла, яке, по суті, еліптичне рівняння, що марширує в часі, має схожу властивість "згладжування", початковий гострий кут з часом буде згладжений,

Для гіперболічної проблеми, яка зазвичай виходить із закону збереження, є "консервативною" або "дисперсивною". Наприклад, лінійне рівняння адвекції, описуючи певні потоки величини з векторним полем, зберігає, як ця конкретна кількість схожа спочатку, просто вона просторово рухається вздовж цього векторного поля, розриви будуть поширюватися. Рівняння Шродінгера, ще одне гіперболічне рівняння, однак, є дисперсійним, це поширення складної величини, початковий стан, що не коливає, з часом стане різним пакетом коливальних хвиль.

Як ви вже згадували про "крокуючи в часі", ви могли б подумати, що кількість "тече" у часових "полях" з певною швидкістю, як причинність, дуже схожа на рівняння лінійної адвекції BVP, нам потрібно лише накласти граничну умову припливу, тобто якою є кількість, коли потрапляє в область, що цікавить, і рішення дозволить нам сказати, що таке кількість, коли витікає, ідея, дуже схожа на кожен метод, що використовує ступінчастий час. Розв’язання 2D рівняння адвекції в просторі - це як рішення 1D однобічної задачі поширення в просторі-часі. Для числових схем ви можете шукати Google про FEM про проміжок часу.

— Шухао Цао
джерело

Треба сказати, що більшість того, що ви говорите, - це над моєю головою. Але останній абзац був дуже цікавим і, безумовно, дає зрозуміти. Чи є у вас посилання на (простір та простір) проти (еліптичний та гіперболічний)?

— Патрік

@Patrick Дякую за інтерес, я більше відредагував свою відповідь.

— Shuhao Cao

6

Хоча є деякі винятки (наприклад, повністю дискретні методи кінцевих елементів), тимчасова дискретизація, як правило, має на увазі притаманну їм послідовну залежність потоку інформації. Ця залежність обмежує напівдискретні алгоритми (BVP у просторі, IVP у часі) для послідовного обчислення рішень підпроблем. Ця дискретизація зазвичай є кращою для простоти і тому, що вона пропонує аналітику безліч добре розроблених алгоритмів для більшої точності як у просторі, так і в часі.

Можна також (і простіше) використовувати кінцеві відмінності в просторових розмірах, але методи кінцевих елементів пропонують більш легку гнучкість у типі домену, що цікавить (наприклад, нерегулярні форми), ніж методи кінцевих різниць. "Хороший" вибір просторової дискретизації часто дуже залежить від проблеми.

— Пол
джерело