Назвіть можливі методи розв’язання рівнянь, що стискаються Ейлера

Я хотів би написати власний розв'язувач для стисливих рівнянь Ейлера, і найголовніше, щоб я хотів, щоб він працював міцно у будь-яких ситуаціях. Я хотів би, щоб це було на основі ЗП (ГД нормально). Які можливі методи?

Мені відомо, що я роблю генеральний директор 0-го порядку (обмежений обсяг), і це повинно працювати дуже надійно. Я реалізував базовий вирішувач FVM, і він чудово працює, але конвергенція досить повільна. Однак це, безумовно, один варіант.

Я реалізував вирішувач FE (працює для будь-якої сітки та будь-якого поліноміального порядку на будь-якому елементі) для лінеаризованих рівнянь Ейлера, але я отримую помилкові коливання (і з часом він вибухає, тому я не можу використовувати його, щоб вирішити свою проблему) та Я прочитав у літературі, що її потрібно стабілізувати. Якби я здійснив певну стабілізацію, чи буде це надійно працювати для всіх проблем (= граничні умови та геометрія)? Яким буде рівень конвергенції?

Окрім цього, чи існує якась інша надійна методологія рівнянь Ейлера (тобто ГД вищого порядку з певною стабілізацією)?

Я знаю, що багато людей спробували багато різних речей у своїх дослідницьких кодах, але мене цікавить надійний метод, який працює для всіх геометрій та граничних умов (правка: у 2D та 3D).

Основна чисельна складність у вирішенні нелінійної системи гіперболічних ПДЕ першого типу, таких як рівняння Ейлера (для стисливого, невидимого потоку), полягає в тому, що розриви (ударні хвилі) з’являються в розчині через обмежений час, навіть якщо початкові дані є гладкими. Для вирішення цього питання більшість сучасних кодів використовують обидва

• обмежувачі нахилу (або потоку ) , які забезпечують спосіб обчислення похідних точно біля розривів, не вводячи помилкових коливань; і
• Орієнтовні рішення Рімана , які локально (на кожному краї / грані сітки) вирішують задачу початкового значення з кусочно постійними початковими даними та однократним розривом.

Існують обмеження різниці (FD), обмеженого обсягу (FV) та обмеженого елемента (FE), які включають обмежувачі та рішень Рімана, і все це може бути зроблено дуже точно, принаймні далеко від ударів. Тому немає сенсу категорично говорити, що методи FE конвергуються швидше, ніж методи FV - вони будуть порівнянні, якщо будуть використані порівнянні порядок дискретизації.

Серед методів ПЕ тут найбільш підходящі методи перерви Галеркіна , оскільки рішення насправді буде припиненим. Якщо ви хочете реалізувати своє власне, я пропоную прочитати цей оглядовий документ і отримати копію тексту Hesthaven & Warburton, щоб зрозуміти основи. Тоді є багато паперів на ГД про стисливий потік .

Якщо ви готові використовувати чужий код, і оскільки я знаю, що ви використовуєте Python, ви можете поглянути на код хеджу Andreas Kloeckner , який має інтерфейс Python і може працювати на GPU. Напевно, є інші хороші коди DG і багато хороших FV-кодів (наприклад, Clawpack , який також має інтерфейс Python ).

Існують також новіші методи високого порядку, такі як різниця у спектрах. Нещодавню перспективу див. У Cheng & Shu 2009, Схеми високого замовлення CFD: Огляд або Ekaterinaris 2005, Високі порядкові точні, низькі чисельні дифузійні методи аеродинаміки .