Явний метод Ейлера занадто повільний для проблеми дифузії реакцій

Я вирішую систему реакції дифузії Тьюрінга з наступним кодом С ++. Це занадто повільно: для текстури розміром 128x128 пікселів прийнятна кількість ітерацій становить 200 - це призводить до затримки в 2,5 секунди. Мені потрібно 400 ітерацій, щоб отримати цікаве зображення - але 5 секунд очікування - це занадто багато. Також розмір текстури повинен бути насправді 512x512 - але це призводить до величезного часу очікування. Пристрої iPad, iPod.

Чи є шанс зробити це швидше? Метод Ейлера зближується повільно (wikipedia) - швидший метод дозволив би скинути кількість ітерацій?

EDIT: Як вказував Томас Клімпель, рядки: "if (m_An [i] [j] <0.0) {...}", "if (m_Bn [i] [j] <0.0) {...}" затримують конвергенцію: після видалення змістовне зображення з’являється після 75 ітерацій . Я прокоментував рядки в коді нижче.

void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) {
    m_iterations = iterations;
    m_CA = CA;
    m_CB = CB;

    solveProcess();
}

void set_torus( int & x_plus1, int & x_minus1, int x, int size ) {
    // Wrap "edges"
    x_plus1 = x+1;
    x_minus1 = x-1;
    if( x == size - 1 ) { x_plus1 = 0; }
    if( x == 0 ) { x_minus1 = size - 1; }
}

void TuringSystem::solveProcess() {
    int n, i, j, i_add1, i_sub1, j_add1, j_sub1;
    double DiA, ReA, DiB, ReB;

    // uses Euler's method to solve the diff eqns
    for( n=0; n < m_iterations; ++n ) {
        for( i=0; i < m_height; ++i ) {
            set_torus(i_add1, i_sub1, i, m_height);

            for( j=0; j < m_width; ++j ) {
                set_torus(j_add1, j_sub1, j, m_width);

                // Component A
                DiA = m_CA * ( m_Ao[i_add1][j] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i_sub1][j]   +   m_Ao[i][j_add1] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i][j_sub1] );
                ReA = m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j] - m_Ao[i][j] - 12.0;
                m_An[i][j] = m_Ao[i][j] + 0.01 * (ReA + DiA);
                // if( m_An[i][j] < 0.0 ) { m_An[i][j] = 0.0; }

                // Component B
                DiB = m_CB * ( m_Bo[i_add1][j] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i_sub1][j]   +   m_Bo[i][j_add1] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i][j_sub1] );
                ReB = 16.0 - m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j];
                m_Bn[i][j] = m_Bo[i][j] + 0.01 * (ReB + DiB);
                // if( m_Bn[i][j] < 0.0 ) { m_Bn[i][j]=0.0; }
            }
        }

        // Swap Ao for An, Bo for Bn
        swapBuffers();
    }
}

Ви, здається, обмежені стабільністю, що очікується, оскільки дифузія жорстка під час вдосконалення сітки. Хороші методи жорстких систем принаймні частково неявні. Це займе певних зусиль, але ви можете реалізувати простий алгоритм з багаторешіткою (або використовувати бібліотеку) для вирішення цієї системи вартістю менше десяти "робочих одиниць" (по суті, вартості одного з ваших часових кроків). Коли ви доопрацюєте сітку, кількість повторень не збільшиться.

З практичної точки зору: процесор A5 не настільки потужний, тому ви можете зачекати кілька ітерацій HW, або якщо ваш ipod / ipad буде підключений до Інтернету, вирішити свою проблему віддалено або в хмарі.

Ейлер поступово сходить по відношенню до інших методів, однак я не думаю, що саме це вас цікавить. Якщо ви просто шукаєте "цікаві" зображення, збільште розмір свого кроку в часі і робіть менше ітерацій. Проблема, як вказує Джед, полягає в тому, що метод явного еулера має проблеми зі стабільністю з великими часовими кроками щодо розміру сітки. чим менша ваша сітка (тобто чим вище роздільна здатність вашого зображення), тим меншим повинен бути ваш крок часу, щоб врахувати її.

Наприклад, використовуючи неявний ейлер замість явного, ви не отримуєте жодних порядків конвергенції, але рішення матиме безумовну стабільність, що дозволяє набагато більші часові кроки. Неявні методи складніші для впровадження та проведення більших обчислень за часовий крок, але ви повинні побачити вигоди набагато більше, ніж зробивши менше загальних кроків.