Басейн тяжіння за методом Ньютона

9

Відомо, що метод Ньютона для розв’язування нелінійних рівнянь квадратично збігається, коли вихідна здогадка "достатньо близька" до рішення.

Що "достатньо близько"?

Чи є література про структуру цього басейну привабливості?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— Девід Кетчесон
джерело

Корінь повинен бути ізольованим (не кратним). Якщо гессіян рівномірно визначений (увігнутий вгору чи вниз) у регіоні, вам слід добре поїхати. Звичайно, гарантувати або перевірити ці умови емпіричним шляхом, як правило, недоцільно.

— хардмаут

Я побачив це питання в NA-Digest днями і вважав його інтригуючим. Мабуть, я був не єдиним :-)

— Вольфганг Бангерт

8

Для єдиного раціонального рівняння в складній області басейном притягання є фрактал, складність так званого множини Джулії. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Для теорії з приємними онлайн-цифрами див., Наприклад,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

$x^3-1=0$

Таким чином, мало конкретизувати детально, що є "досить близьким" до рішення. Якщо відомі межі для другої похідної, існує теорема Ньютона - Канторовича, яка дає нижчі межі радіусу кулі, в якому сходиться метод Ньютона, але, крім 1D, вони, як правило, досить песимістичні.

Корисно обчислювальні межі можна отримати за допомогою інтервальної арифметики; див., наприклад, мою працю
Шен Зуе та А. Ноймаєр, оператор Кравчика та теорему Кантаровича, Дж. Матх. Анальний. Додаток 149 (1990), 437–443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Арнольд Ноймаєр
джерело

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

1

@hardmath: так, але складне рівняння стає двома реальними рівняннями у двох змінних, для яких застосовується те саме.

— Арнольд Ноймаєр

4

"Досить близько" важко охарактеризувати, враховуючи, що це породжує клас фракталів . Методи Ньютона з глобалізаційними стратегіями, такими як пошук лінії та регіон довіри, розширюють басейни привабливості. Якщо є додаткова структура проблеми, наприклад, при оптимізації, припущення, необхідні для конвергенції, можуть бути додатково послаблені.

— Джед Браун
джерело

Чи просто для цікавості, чи є у вас приклад "Якщо є додаткова структура проблеми, наприклад, в оптимізації, припущення, необхідні для конвергенції, можуть бути додатково послаблені?"

— vanCompute

@vanCompute Дивіться цей приклад для прикладу, пов’язаного з оптимізацією, де функціонал об'єкта надає інформацію, яка втрачається в умовах оптимальності першого порядку. Іншою формою може бути знання про те, що певне продовження (псевдотранзиент, параметр, сітка тощо) завжди конвергується, але залишковий, можливо, повинен збільшитися до досягнення рішення, якщо спробувати вирішити проблему безпосередньо.

— Джед Браун

3

Існує кілька корисних результатів для методу Ньютона, застосованого до складних многочленів.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Інші чіткі межі надає Ентоні Меннінг у " Як бути впевненим у знаходженні кореня складного многочлена за методом Ньютона" (теорема 1.2).

Див. Також Як знайти всі корені складних многочленів за методом Ньютона Губбарда та ін.
Винаходити Математика. 146 (2001), вип. 1, 1–33. pdf

— lhf
джерело

Адаптовано з math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

— lhf