У яких випадках застосування схеми адитивного попереднього кондиціонування перевершують мультиплікативні?

12

І в методах декомпозиції домену (DD), і в багаторешітці (MG) можна створити застосування оновлень блоку або грубих виправлень як добавок, так і мультиплікативних . Для точкових рішень це різниця між ітераціями Якобі та Гаусса-Сейделя. Мультиплікативний плавніший для діє як , застосовується як $Ax = b$ $S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

а добавка більш гладка застосовується як

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

для деякого демпфування . Загальний консенсус видається таким, що мультиплікативні плавніші мають набагато більш швидкі властивості конвергенції, але мені було цікаво: за яких ситуацій ефективність варіантів добавок цих алгоритмів краща? $\lambda_i$

Більш конкретно, чи є у когось випадки використання, коли варіант добавки повинен та / або працює значно краще, ніж мультиплікативний варіант? Чи є для цього теоретичні причини? Більшість літератури з мультирешітки досить песимістично ставиться до методу Additive, але він використовується настільки в контексті DD, як добавка Schwarz. Це також поширюється на набагато більш загальну проблему складання лінійних та нелінійних розв'язків, і який тип конструкцій буде добре працювати та виконувати паралельно.

— Пітер Брюн
джерело

6

Адитивні методи виявляють більше одночасності. Вони, як правило, лише швидші, ніж мультиплікативні методи, якщо ви можете скористатися цією паралельністю. Наприклад, грубі рівні мультисетки зазвичай обмежені затримкою. Якщо ви перемістите грубі рівні на менші субкомунікатори, то вони можуть бути вирішені незалежно від тонших рівнів. При мультиплікативній схемі всі програми повинні чекати, поки вирішаться грубі рівні.

Крім того, якщо алгоритм потребує скорочень на кожному рівні, варіант аддиції може бути здатним поєднати їх там, де мультиплікативний метод змушений виконувати їх послідовно.

— Джед Браун
джерело

Це відповідь, яку я зрозумів, що отримаю, тому гадаю, що піду ще більше питання. Чи бувають ситуації, коли додатково застосовувані методи, включаючи DD та MG, а також розщеплення на місцях (які можуть вважатися DD-подібними, але можуть мати різні характеристики на практиці) або розщеплення PDE насправді кращі з точки зору продуктивності, стійкості чи стабільності, ніж мультиплікативний варіант?

— Пітер Брун

1

Мультиплікативні версії багатьох алгоритмів повинні зберігати більше інформації, але іноді зближуються приблизно так само швидко. Іноді варіанти добавок симетричні, але може бути набагато більше роботи зробити мультипликативний симетричний. З полем розщеплення попередній кондиціонер може стати більш приблизним, коли ви додасте ці додаткові рішення. Ми можемо продемонструвати це на прикладі PETSc Stokes, якщо хочете. Аддитив завжди легше векторизувати / більше одночасно, але будь-яка виграш ефективності від цього залежить від проблеми та архітектури.

— Джед Браун

5

При проблемах із SPD адитивні методи краще для згладжування MG з кількох причин, як уже згадувалося, та ще декілька:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

Однак мультиплікативні методи мають правильні спектральні властивості прямо у вікні для більш гладкого MG, тобто вони не потребують демпфування. Це може бути великим виграшем для гіперболічних проблем, коли згладжування поліномів не дуже приємне.

— Адамс
джерело

0

Я повторю те, що сказав @Jed: Мультиплікативний метод завжди конвергується як мінімум так само, як і метод Additive (асимптотично), тому ви виграєте лише на основі одночасності, але це залежить від архітектури.

— Метт Кнеплі
джерело

Не є технічно правильним, спектри ітераційної матриці, скажімо, Гаусса-Сейделя, не є рівномірно перевершеними Якобі (наприклад, одна іменна величина вбивається однією ітерацією Якобі). Позначити (як я вийду як Jed ...)

— Jed Brown