Чи є ярлики для чисельно наближених систем звичайних диференціальних рівнянь, коли автономні?

Існуючі алгоритми вирішення ODE обробляють функції , де . Але у багатьох фізичних системах диференціальне рівняння є автономним, тому , , при цьому залишилося. За допомогою цього спрощеного припущення, які покращення можна побачити в існуючих числових методах? Наприклад, якщо , проблема перетворюється на і ми переходимо до зовсім іншого класу алгоритмів інтегрування одновимірних інтегралів. При максимально можливе поліпшення - це зменшення розмірностіy∈Rnd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$y∈Rntn=1t=∫d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ n>1$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$на 1, оскільки залежний від часу випадок може бути змодельований додаванням до , змінивши домен від на .y y R n R n + $t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Я б сказав, що одне суттєве поліпшення полягає в тому, що в межах підходів, що крокують на час, де ви поширюєте використовуючи карту рішення , ви можете визначте пропагатор (або принаймні його частини) один раз, а потім повторно використовуйте його на кожному кроці.$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$$\mathcal{U}$

Наприклад, у лінійному випадку у вас буде , де - матриця. Оператор рішення складається в основному з експоненціалу матриці. Для автономних систем ця затратна матрична експоненціальна оцінка потрібна лише один раз для повного розповсюдження - на відміну від системи, залежної від часу, де ви повинні виконувати цю оцінку на кожному кроці часу.$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

Для нелінійних систем це не так просто, але залежно від алгоритму можуть бути використані певні дорогі оцінки.