Граничні умови рівняння адвекції дискретизуються методом кінцевих різниць

Я намагаюся знайти деякі ресурси, які допоможуть пояснити, як вибрати граничні умови при використанні методів кінцевих різниць для вирішення PDE.

Книги та записки, до яких я зараз маю доступ до всіх, говорять подібні речі:

Загальні правила, що регулюють стабільність за наявності меж, є надто складними для вступного тексту; їм потрібна складна математична техніка

(А. Ізерлес - перший курс з числового аналізу диференціальних рівнянь)

Наприклад, намагаючись реалізувати двоетапний високосний метод для рівняння адвекції:

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

за допомогою MATLAB

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

Рішення поводиться добре, поки не досягне межі, коли дуже раптово почне поводитися погано.

Де я можу навчитися поводитися з такими граничними умовами?

Відповідь Sloede дуже ретельна і правильна. Я просто хотів додати кілька балів, щоб полегшити розуміння.

В основному будь-яке рівняння хвилі має властиві швидкості та напрямку хвилі. Для одновимірного хвильового рівняння:

$$u_t + a u_x = 0$$ швидкість хвилі - це константа $a$ яка визначає не тільки швидкість, з якою поширюється інформація в області, але і її напрямок. Якщо $a>0$ , інформація рухається зліва направо, а якщо , це навпаки.$a<0$

Для методу стрибкової жаби, коли ви дискретизуєте отримані рівняння: або: u n i =u n - 2 i +μ(u n - 1 i + 1 -u n - 1 i - 1 )деμ=-aΔt/Δx. У вашому випадкуμ>

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$що перекладається на хвилю, що йде ліворуч. Тепер, якщо ви подумаєте про це, хвилі, яка рухається ліворуч, знадобиться лише гранична умова на правій межі, оскільки всі значення ліворуч оновлюються через їхніх правих сусідів. Фактично вказівка ​​будь-якого значення на лівій межі не відповідає природі проблеми. У певних методах, як, наприклад, простий вітер, це вирішується автоматично, оскільки схема також включає лише трафіки сусідів у трафареті. В інших методах, як, наприклад, стрибка жаби, ви повинні вказати якесь "правильне" значення.

Зазвичай це робиться шляхом екстраполяції з внутрішнього домену для пошуку відсутнього значення. Для багатовимірних і неканонічних задач це передбачає пошук усіх власних векторів потоку якобіан, щоб визначити, які частини кордону насправді потребують граничних умов, а які частини потребують екстраполяції.

Загальна відповідь
Ваша проблема полягає в тому, що ви взагалі не встановлюєте (або навіть вказуєте) граничні умови - ваша числова проблема неправильно визначена.

Як правило, існують два можливі способи визначення граничних умов:

1. $u_{0}$$u_{101}$
2. Змініть цифровий трафарет, щоб він використовував лише інформацію про інтер'єр на межі.

Яким шляхом ви йдете в значній мірі залежить від фізики вашої проблеми. Для задач типу хвильового рівняння зазвичай визначають власні значення потоку якобіан, щоб вирішити, чи потрібні умови зовнішніх кордонів, або чи слід застосовувати внутрішнє рішення (цей метод зазвичай називають "перемотуванням").

---

$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

Ви можете знайти модифіковану версію вихідного коду нижче:

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

Тому я розглянув це дещо детальніше, і, здається, це (принаймні в основних випадках, якими я займаюся) залежить від групової швидкості методу.

Метод стрибка (наприклад):

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

$u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

Тепер нам потрібно з'ясувати групову швидкість граничних умов:

$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

Ми можемо обчислити швидкість граничної групи наступним чином:

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

щоб знайти деякі групові швидкості, які дозволяють нам знайти кордони:

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$ would give $\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$ for which a solution for $c \in [-1,1]$ will exist. (For most choices of $\mu$ at least)

---

The solution which I've found in the literature is to take $u_0^{n+1} = u_1^{n}$ since this has a boundary wave number which lies outside $[-1,1]$.

I've still quite quite a bit more to read up about this before I understand it completely. I think the key words I'm looking for are GKS theory.

Source for all this A Iserles Part III notes

---

A clearer calculation of what I've done can be found here: http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

Хлопці, я дуже новачок на цьому сайті. Можливо, це не місце просити, але, будь ласка, пробачте мене, тому що я тут дуже нова :) Я маю надзвичайно подібну проблему, різницею є лише пускова функція, яка в моєму випадку - косинусна хвиля. Мій код такий: очистити все; clc; закрити всіх;

M = 1000; N = 2100;

mu = 0,5;

c = [mu 0 -mu]; f = @ (x) 1- cos (20 * pi * x-0,025). ^ 2; u = нулі (M, N); х = 0: (1 / М): 0,05; u (1: довжина (x), 1) = f (x); u (1: довжина (x), 2) = f (x - mu / (M)); x = область простору (0,1, М);

для i = 3: N затримка;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

сюжет (x, u (:, i)); вісь ([0 1,5 -0,5 2]) дроунов; % закінчення паузи

Тут вже є цей код, але чомусь, мабуть, пов’язаний з косинусоїдою, мій код не вдається: / будь-яка допомога буде вдячна :) дякую!