Числова стійкість поліномів вищого порядку Зерніке

Я намагаюся обчислити моменти вищого порядку (наприклад m=0, n=46) моменти Zernike для деякого зображення. Однак я зіткнувся з проблемою щодо радіального многочлена (див. Wikipedia ). Це поліном, визначений на проміжку [0 1]. Дивіться код MATLAB нижче

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

Однак це очевидно стикається з числовими проблемами поблизу RHO > 0.9.

Я спробував переробити його на polyvalдумку, що він може мати кілька кращих закулісних алгоритмів, але це нічого не вирішило. Перетворення його в символічний розрахунок створило потрібний графік, але було розумно повільним навіть для простого графіка, такого як показано.

Чи існує чисельно стійкий спосіб оцінювання таких поліномів високого порядку?

У цій роботі Хонавар і Парамесран отримують цікавий метод обчислення радіальних поліномів Зерніке дуже приємним рекурсивним способом. Формула рекурсії напрочуд проста, без ділення чи множення на великі цілі числа: Я б рекомендував поглянути на рисунок 1 у Хонарварі та Парамесрані документ, який наочно ілюструє залежності між різними поліномами Зерніке.

Це реалізовано у наступному сценарії Octave:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

Наприклад, на малюнку, отриманому цим кодом, видно, що при і катастрофічне скасування відбувається поблизу , якщо радіальні поліноми Зерніке обчислюються через многочлени Якобі. Тому потрібно також турбуватися про точність поліномів Зерніке нижнього ступеня.$m = 22$$n = 112$$\rho = 0.7$

Рекурсивний метод здається набагато більш придатним для стабільного обчислення цих поліномів вищого порядку Зерніке. Тим не менш, для і максимальна різниця між методом Якобі і рекурсивним методом становить (тільки?) , Що може бути достатньо точним для вашого застосування.$m = 0$$n = 46$1.4e-10

Можливим рішенням (запропонованим @gammatester) є використання многочленів Якобі. Це обходить проблему катастрофічного скасування при додаванні великих коефіцієнтів поліномів шляхом «наївної» оцінки поліномів.

Радіальний многочлен Зерніке може бути виражений поліномами Якобі таким чином (див. Рівняння (6) )

Однак у MATLAB використання jacobiP(n,a,b,x)неприпустимо повільного для великих векторів / матриць x=rho. jacobiPФункція фактично є частиною символічного Toolbox, і оцінка полінома відкладається на символічному двигун, який торгує швидкість для довільної точності. Таким чином, необхідна ручна реалізація поліномів Якобі.

Оскільки параметри функції Якобі всі невід’ємні ( , , ), ми можемо використовувати наступне вираження (див. Вікіпедію , зауважимо, що я заповнив значення для ) $\alpha=m$$\beta=0$$n^*=(n-m/2)$$s$

В MATLAB, це призводить до (Jacobi р olice д epartment Р olynomial, ' D ouble' реалізації)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

Фактичний радіальний многочлен Зерніке, таким чином, (для m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Примітка: ця самовідповідь є лише практичним рішенням; не соромтеся позначити іншу відповідь, яка пояснює, чому це працює.