Розв’язання квадратного рівняння

Чи є відкрита C-реалізація для рішення квар- тичних рівнянь:

а х ⁴ + б х ³ + c х ² + г х + е = 0

$ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0$

Я думаю про реалізацію рішення Ferrari. У Вікіпедії я читав, що рішення є обчислювально стійким лише для деяких можливих знакових комбінацій коефіцієнтів. Але, можливо, мені пощастило ... Я отримав прагматичне рішення, розв’язавши аналітично за допомогою комп'ютерної алгебри системи та експортувавши до C. Але якщо є перевірена реалізація, я вважаю за краще скористатися цим. Я шукаю швидкий метод і вважаю за краще не використовувати загальний кореневий пошук.

Мені потрібні лише реальні рішення.

polynomials nonlinear-equations roots

— високий рівень
джерело

Вам потрібні всі (справжні) рішення одночасно? Як зазначає GertVdE нижче, якщо у вас є проблеми зі стабільністю із рішенням закритої форми, насправді немає вагомих причин не використовувати якийсь алгоритм пошуку кореневих файлів.

— Годрік Провид

Мені здається смішним, що це було позначено нелінійною алгеброю, оскільки ви могли просто обчислити власні значення супутньої матриці, яка вже є у формі Гессенберга, і застосувати QR-перегляд було б досить просто.

— Віктор Лю

Погляньте на кубічні / кварцові розв'язки, опубліковані в ACM TOMS (Алгоритм 954) . Код, який вносить цей журнал, зазвичай дуже високої якості. Сам папір знаходиться за платною стіною, але код можна завантажити за цим посиланням .

— GoHokies

... (пізніше редагування) код ACM написаний на FORTRAN 90, але моє перше враження, що можна було викликати його з C, не докладаючи великих зусиль.

— GoHokies

@GoHokies Я думаю, ви повинні перетворити свій коментар у відповідь, тому що я вважаю, що це гарна відповідь на це питання. Тим більше, що зв'язаний папір вдається уникнути звичайних числових нестабільностей, і це абсолютно не тривіально.

— Кирило

Відповіді:

Я б настійно радив не використовувати рішення закритої форми, оскільки вони, як правило, є дуже нестабільними. Вам потрібно бути дуже обережними в порядку та порядку ваших оцінок дискримінантних та інших параметрів.

Класичний приклад - це для квадратичного рівняння . Обчисливши коріння як , ви у проблеми для поліномів, де з тих пір ви отримуєте скасування в чисельник. Вам потрібно обчислити . $ax^2+bx+c=0$

х_{1, 2} = \frac{- б \pm \sqrt{б^{2} - 4 а c}}{2 а}

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

b ≫ 4 a c

$b\gg 4ac$

x_{1} = \frac{- (b + s i g n (b) \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{2 a}; x_{2} = \frac{c}{a} \frac{1}{x_{1}}

$x_1 = \frac{-(b+sign(b)\sqrt{b^2-4ac})}{2a}; x_2 = \frac{c}{a}\frac{1}{x_1}$

Гігхем у своєму шедеврі «Точність та стабільність чисельних алгоритмів» (2-е видання, СІАМ) використовує метод прямого пошуку для пошуку коефіцієнтів кубічного многочлена, для яких класичний аналітичний кубічний розчин дає дуже неточні результати. Приклад, який він наводить, є . Для цього полінома корені добре відокремлені, а отже, проблема не обумовлена. Однак якщо він обчислює корені за допомогою аналітичного підходу та оцінює поліном у цих коренях, він отримує залишок , використовуючи стабільний стандартний метод (метод супутньої матриці) , залишок порядку $[a,b,c] = [1.732, 1, 1.2704]$ $\mathcal{O}(10^{-2})$ $\mathcal{O}(10^{-15})$ . Він пропонує незначну модифікацію алгоритму, але вже тоді він може знайти набір коефіцієнтів, що призводять до залишків що, безумовно, не добре. Див. P480-481 вищезгаданої книги. $\mathcal{O}(10^{-11})$

У вашому випадку я застосував би метод Бейрстоу . Він використовує ітеративну комбінацію ітерації Ньютона на квадратичні форми (і тоді вирішуються корені квадратичної форми) та дефляції. Це легко реалізується і є навіть деякі реалізації, доступні в Інтернеті.

— GertVdE
джерело

Чи можете ви пояснити, що ви маєте на увазі під "я б настійно радив не використовувати рішення закритої форми, оскільки вони, як правило, є дуже нестабільними". Чи стосується це лише поліномів 4-го ступеня чи це загальне правило?

— NoChance

@EmmadKareem Я оновив свою відповідь вище.

— GertVdE

Дивіться такі:

Рішення квартік і Cubics для графіки , спочатку опублікованій в Graphics Gems V . Оригінальний код тут . Дивіться також це і це .
Універсальний метод розв’язування квадратних рівнянь .

— lhf
джерело

Використовуючи цей код на поліномі з коефіцієнтами, наведеними у моїй відповіді, я знаходжу наступне: , який має відносну похибку порівняно з реальним коренем (обчислюється за допомогою команди коренів Octave, яка використовує метод супутньої матриці). Він має залишок тоді як корінь методу супутньої матриці має залишок . Ви ще

x_{1} = - 1.602644912244132 e + 00

$x_1 = -1.602644912244132e+00$

O (10^{- 8})

$\mathcal{O}(10^{-8})$

O (10^{- 7})

$\mathcal{O}(10^{-7})$

O (10^{- 15})

$\mathcal{O}(10^{-15})$

— вирішуєте,

Числові рецепти в с забезпечують вираження закритої форми для справжніх коренів квадратичного та кубічного, які, імовірно, мають гідну точність. Оскільки алгебраїчний розв’язок квартика включає розв’язання кубічного, а потім розв’язування двох квадратиків, можливо, квартика закритої форми з хорошою точністю не підлягає.

— Nemocopperfield
джерело

Я щойно отримав корінь кубічного прикладу, який цитується в межах 2e-16 (що є над точністю моїх поплавків), використовуючи числові рецепти в c (press et al) кубічних формулах. Тож є надія сподіватися.

— Nemocopperfield