Як модифікації низького рангу впливають на конвергенцію методу Крилова?

Скажімо, у мене є лінійна система , яка швидко конвергується за допомогою відповідного методу Крилова (наприклад, CG або GMRES) для всіх b . Якщо B - матриця з низьким рангом r , чи той самий метод Крилова в системі ( A + B ) x = b також швидко сходиться (в ідеалі з додатковою кількістю ітерацій, що приблизно залежить лише від r )?$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Прикладом такої системи може бути добре обумовлена ​​пружність мембрани та вигин плюс безумовні умови повітряного тиску з щільною зовнішньою структурою виробу.

Зверніть увагу , що мова йде те ж саме з або без попередньої підготовки, так як являє собою ранг г модифікація P A Q .$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Якщо ваш підпростір Крилова ґрунтується на повноваженнях , конвергенція буде затримана на кілька ітерацій, щонайбільше рангу виправлення. Якщо вона базується на потужностях A T A, то максимум удвічі перевищує це число.$A$$A^TA$

Такого твердження в літературі я не бачив. Але щоб побачити обґрунтованість у першому випадку, достатньо показати, що й простір Крилова матриці A + U S V T, де U , V мають r стовпці, міститься у відповідному просторі без поправок з низьким рангом, але з a відповідно більший показник k + r . Це просто перевірити.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$