Альтернативи аналізу стабільності фон Неймана для методів кінцевих різниць


13

Я працюю на вирішенні пов'язаних одновимірних пороупругості рівнянь (модель Біо), враховуючи , як:

(λ+2μ)2ux2+px=0
в областіΩ=(0,1)і з граничними умовами:
t[γp+ux]κη[2px2]=q(x,t)
Ω=(0,1)

приx=0іu=0,pp=0,(λ+2μ)ux=u0x=0приx=1.u=0,px=0x=1

Я дискретизував ці рівняння за допомогою централізованої схеми кінцевих різниць:

γp t + 1 i -p t i

(λ+2μ)ui+1t+12uit+1+ui1t+1Δx2+pi+1t+1pi1t+12Δx=0
γpit+1pitΔt+ui+1t+1ui1t+12ΔxΔt[ui+1tui1t2ΔxΔt]κη[pi+1t+12pit+1+pi1t+1Δx2]=qit+1

Зараз я опрацьовую деталі конвергенції схеми, аналізуючи її послідовність та стабільність. Частина узгодженості здається мені досить простою, але я вже передбачаю деякі труднощі з аналізом стабільності. Перш за все, це дві змінні та два рівняння. По-друге, у другому рівнянні також є змішаний просторово-часовий похідний член. Я знайомий з аналізом стабільності фон Неймана і бачу, що встановити стабільність за допомогою цього методу буде дуже важко. Чи існують альтернативи аналізу фон Неймана, які я можу використовувати?


1
txu

pu

Це та сама проблема, чи ви пишете це як систему чи скалярний PDE.
Девід Кетчесон

Відповіді:


7

uxux

[00II]ddt[ph(t)ux,h(t)]+[hhΔh0][ph(t)ux,h(t)]=[qh(t)0]()
1hddt

Тепер диференціально-алгебраїчна структура (DAE) очевидна. Для змінних існують як диференціальні (за часом), так і алгебраїчні рівняння.

[hhII]

При такому підході ви можете обійти аналіз стабільності.

L2()Δhh

()uux

ДОДАТОК: DAE, як кажуть, є індексом 1, якщо він може бути перетворений в ODE без диференціації рівнянь.

[E10]y˙+[A1A2]y=f.
[E1A2]y~y[E1A2][E~11E~12A~21A~22]A~22A2A~11E~12A~221A~21

()A2:=[h h]y~2(ph,ux,h)ddty~2()


[hhII]

@Paul Я не знайшов теорему для посилання, тому я вставлю аргументи у свою відповідь ...
січня

4

Я не знайомий з наведеними тут рівняннями, але пам’ятаю, що вивчив інший метод перевірки стійкості числової схеми в моїх курсових роботах. Він відомий як аналіз модифікованого рівняння.

Ось хороша довідка для цього,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

У наведеному посиланні встановлено зв’язок між теорією стійкості на основі аналізу модифікованого рівняння та аналізом стійкості Фон Неймана.

Після невеликого пошуку в Інтернеті я натрапив на наступні посилання,

У даній роботі розглядається кінцеве різницеве ​​моделювання пороеластичних рівнянь Біота на сейсмічних частотах. У ньому також є розділ про стабільність чисельної схеми.

У цьому документі представлена ​​стратегія вирішення роз'єднання зв'язаної системи та перевірка стійкості числової схеми.


Я не проводив аналіз модифікованих рівнянь на вищезгаданих рівняннях, але, оскільки в запитанні було запропоновано альтернативи аналізу Фон Неймана, я написав вищезазначену відповідь. Цілком можливо, що це не дає відповіді на питання. Але хтось може вважати перелічені посилання корисними у своїй роботі.
Subodh

Дякую за довідку! Я можу помітити, що форма, необхідна у вашому документі з аналізу модифікованих рівнянь , не зовсім відповідає рівнянням, які я використовую, але це досить інтригуюче для вивчення нових методів аналізу!
Пол
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.