Альтернативи аналізу стабільності фон Неймана для методів кінцевих різниць

13

Я працюю на вирішенні пов'язаних одновимірних пороупругості рівнянь (модель Біо), враховуючи , як:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

в області

і з граничними умовами:

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

приі $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ при. $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Я дискретизував ці рівняння за допомогою централізованої схеми кінцевих різниць:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Зараз я опрацьовую деталі конвергенції схеми, аналізуючи її послідовність та стабільність. Частина узгодженості здається мені досить простою, але я вже передбачаю деякі труднощі з аналізом стабільності. Перш за все, це дві змінні та два рівняння. По-друге, у другому рівнянні також є змішаний просторово-часовий похідний член. Я знайомий з аналізом стабільності фон Неймана і бачу, що встановити стабільність за допомогою цього методу буде дуже важко. Чи існують альтернативи аналізу фон Неймана, які я можу використовувати?

— Пол
джерело

1

t

$t$

x

$x$

u

$u$

p

$p$

u

$u$

Це та сама проблема, чи ви пишете це як систему чи скалярний PDE.

— Девід Кетчесон

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Тепер диференціально-алгебраїчна структура (DAE) очевидна. Для змінних існують як диференціальні (за часом), так і алгебраїчні рівняння.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

При такому підході ви можете обійти аналіз стабільності.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

ДОДАТОК: DAE, як кажуть, є індексом 1, якщо він може бути перетворений в ODE без диференціації рівнянь.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Січ
джерело

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@Paul Я не знайшов теорему для посилання, тому я вставлю аргументи у свою відповідь ...

— січня

4

Я не знайомий з наведеними тут рівняннями, але пам’ятаю, що вивчив інший метод перевірки стійкості числової схеми в моїх курсових роботах. Він відомий як аналіз модифікованого рівняння.

Ось хороша довідка для цього,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

У наведеному посиланні встановлено зв’язок між теорією стійкості на основі аналізу модифікованого рівняння та аналізом стійкості Фон Неймана.

Після невеликого пошуку в Інтернеті я натрапив на наступні посилання,

У даній роботі розглядається кінцеве різницеве моделювання пороеластичних рівнянь Біота на сейсмічних частотах. У ньому також є розділ про стабільність чисельної схеми.

У цьому документі представлена стратегія вирішення роз'єднання зв'язаної системи та перевірка стійкості числової схеми.

— Subodh
джерело

Я не проводив аналіз модифікованих рівнянь на вищезгаданих рівняннях, але, оскільки в запитанні було запропоновано альтернативи аналізу Фон Неймана, я написав вищезазначену відповідь. Цілком можливо, що це не дає відповіді на питання. Але хтось може вважати перелічені посилання корисними у своїй роботі.

— Subodh

Дякую за довідку! Я можу помітити, що форма, необхідна у вашому документі з аналізу модифікованих рівнянь , не зовсім відповідає рівнянням, які я використовую, але це досить інтригуюче для вивчення нових методів аналізу!

— Пол