Ефективний попередній кондиціонер для посиленого лагранжана

Я хочу вирішити нелінійну задачу з нелінійними обмеженнями рівності, і я використовую розширений Лагранжан із терміном регуляції штрафу, який, як відомо, псує номер умови моїх лінеаризованих систем (під час кожної ітерації Ньютона я маю на увазі) . Чим більший термін виконання штрафних санкцій, тим гірше число умов. Хтось знає ефективний спосіб позбутися цього поганого кондиціонування в конкретному випадку?

Якщо бути більш конкретним, я використовую класичний розширений лагрангіан, оскільки у мене є багато обмежень, які, як правило, є зайвими. Отже, сліпо включити прямі обмеження в первинні змінні дуже зручно. Я спробував інші більш складні підходи, засновані на усуненні змінних або ефективних попередніх кондиціонерів безпосередньо в системі KKT, але через надмірність обмежень у мене виникають деякі проблеми.

Задача щодо змінних формулюється так, як слід мого Лагранжана як вигляд L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

Отже, загалом метою кожної ітерації Ньютона є розв’язання задачі вигляду With (опускаємо гессіан обмеження) A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) і b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) +

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ а величина C означає C ( u ) : = ∇ u c ( u ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Дякую.

Залежно від структури проблеми, ви можете вирішити неправильно обумовлену розширену систему Лагрангія безпосередньо. Наприклад, BDDC / FETI-DP може вирішити майже нестислиму еластичність у первинному вигляді зі швидкістю конвергенції, незалежною від співвідношення Пуассона (кусочна константа на субдоменах, але з довільними стрибками). Подібним чином, ця властивість може мати багаторідкісні методи, які точно відтворюють об'ємний режим. Такі методи є специфічними для проблем, і загалом, великі штрафи призводять до систем, які важко обумовити.

Щоб дозволити більшу гнучкість у виборі попереднього кондиціонера, рекомендую ввести явні подвійні змінні та написати більшу систему сідлових точок

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Якщо ви можете бути більш конкретними щодо джерела вашої проблеми (що ви мінімізуєте та яке обмеження), я можу запропонувати більш конкретні посилання.

Введіть додаткові змінні для зіпсуючих термінів в умовах KT, і ви можете знайти більшу симетричну систему, яка чисельно добре поводиться, лише матриця штрафів, що надходить до матриці.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$