Як видалити жорсткі рухи тіла в лінійній пружності?

Я хочу вирішити $K u = b$ де $K$ моя матриця жорсткості. Однак деякі обмеження можуть бути відсутніми, тому деякий жорсткий рух тіла може залишатися в системі (через власне значення нуля). Оскільки я використовую CG для вирішення лінійної системи, це не прийнятно, оскільки іноді CG не сходить на напівпозитивних проблемах (але я іноді може конвергуватися).

Насправді я використовую підхід до певного переміщення в тому сенсі, що я додаю штрафну форму $\alpha ||u||^2$ до пружної енергії. Так енергія зчитується

W (u) := \frac{1}{2} u^{T} (K + α I) u - b^{t} u

$\begin{equation} \mathcal W(u) := \frac{1}{2} u^T (K + \alpha I) u - b^t u \end{equation}$ де

α

$\alpha$ прийнятий як пропорційний деякому діагональному введенню матриці жорсткості. Але насправді це впливає на зволоження деякого режиму деформації, який я хотів би колись мати.

Деякі мої запитання:

а) чи можу я перетворити оригінальну систему так, щоб зробити її без сингулярності та певного позитивного (наприклад, перетворення координат чи перетворення конгруентності чи будь-чого іншого)? Моя ідея - використовувати таке перетворення, щоб все-таки використовувати CG для перетвореної проблеми

б) Чи існує якийсь стандартний спосіб поводження з цими особливостями?

Дуже дякую !

З повагою,

Том

finite-element iterative-method conjugate-gradient

— Том
джерело

Відповіді:

Стандартний спосіб - додати обмеження $u(x_0)=0$ для довільно обраного вузла $x_0$ . Це гарантує, що ваше тіло не може переводити чи обертатись, і тому забирає нульове власне значення. Отримана система з цим обмеженням є позитивно визначеною навіть без вашого строку покарання.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Дякую! Так, але я мій випадок, у мене є кілька плаваючих підструктур, і я не можу сказати, які вузли (3 нелінійні вузли в 3D) виправити. Ось чому мені цікаво, чи не існує рішення вищого рівня, оскільки в моєму випадку нульовий простір добре відомий.

— Том

Якщо у вас є кілька структур, то вам потрібно виправити по одному вузлу для кожної структури. Не має значення, який саме, просто виберіть по одній структурі.

— Вольфганг Бангерт

@WolfgangBangerth Це еластичність в 3D, тому вам потрібно зафіксувати три нелінійні точки, щоб контролювати нульовий простір розмірності 6. Закріплення цих трьох переміщень - обурення рангом 9, і нелегко переконатися, що модифікація рангу 3 перевищує нульовий простір не змінює рішення. Для будь-якого вибору точок та значень, які потрібно зафіксувати, існує тривимірне сімейство правої сторони, в якому ваша зав'язана проблема дає правильну відповідь лише для одного члена.

— Джед Браун

Ні, ви не можете закріпити 3 бали за 9 обмежень, тому що ви потім також фіксуєте їх відносні відстані. Якщо ваші граничні умови дійсно не передбачають жодних інших обмежень (наприклад, якщо вони не є нормальним зміщенням по колу), вам потрібно зафіксувати 1 бал + різні кути повороту на двох інших точках загалом 6 обмежень.

— Вольфганг Бангерт

Якщо ви знаєте нульовий простір, ви можете зробити праву частину сумісною і метод Крилова запобігає забрудненню попереднього кондиціонера, див. Чому зафіксовано крапку для видалення нульового простору? для подальшого обговорення. У PETSc це робиться за допомогою MatNullSpaceоб'єкта. Зауважте, що ви можете надати власну функцію для проектування нульового простору, що було б корисно для зменшення витрат на проекцію, коли у вас багато плаваючих структур.

Якщо ви не знаєте нульового простору і не можете уникнути несумісного правого боку, існують спеціалізовані методи Крилова, такі як MINRES-QLP, які можуть знайти рішення мінімальної норми, незважаючи на це. Цей підхід може бути корисним, якщо у вас є шарніри та одноточкові з'єднання, які з'єднують лише деякі режими. Зауважте, що ви все ще повинні бути обережними щодо попереднього кондиціонера, що спричиняє забруднення (наприклад, через LU-факторизацію, що знаходить нульові повороти, можливо, на грубому рівні мультисетки).

— Джед Браун
джерело

Дякую тобі Джеде! Я думав про видалення нульового простору за допомогою проекції безпосередньо в своєму ітеративному методі. Але мені було цікаво, чи це не надто дорого (я можу створити оператора, який проектує нульовий простір, оскільки він справді банальний по еластичності). Також я думаю, що залишок слід також спроектувати?

— Том

Зробіть сумісність правої сторони та спроектуйте нульовий простір після кожного застосування попереднього кондиціонера (адже багато попередніх кондиціонерів забруднить нульовий простір). Це дає оператору Крилова

K = (I - N) P^{- 1} A

$K = (I -N)P^{-1}A$ такий як

{b, K b, K^{2} b, \dots}

$\{ b, K b, K^2 b, \dotsc \}$ є ортогональним до нульового простору. Оскільки ваша проблема симетрична, вам не потрібна інша рутина для лівого та правого нульових пробілів. Це те, що робить PETSc, якщо ви телефонуєте MatSetNullSpace().

— Джед Браун