Який правильний спосіб інтеграції в моделювання астрономії?

Я створюю простий симулятор астрономії, який повинен використовувати фізику ньютонів для імітації руху планет у системі (або будь-яких об'єктах, з цього приводу). Усі тіла - це кола в евклідовій площині, які мають такі властивості, як положення, швидкість, маса, радіус та зумовлена сила.

Я хочу оновити Всесвіт невеликими часовими кроками, як правило, за кілька мілісекунд, але я не впевнений, як правильно обчислити зміни положення.

Сила проста: fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2).

Але як мені далі звідти?

Я міг би це зробити:

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

Але це, звичайно, було б помилково. Можливо, якби я додав 0,5 як фактор розрахунку позиції?

time-integration

— jcora
джерело

Це занадто смішно, щоб не коментувати: це справді поширена астрономічна проблема для імітації руху "рослин" ;-)

— Вольфганг Бангерт

Ви по суті отримали відповідь - немає необхідності в коефіцієнті 0,5.

По суті, у вас є двовимірна система ODE першого порядку: де все є функцією часу, крім імовірно, а крапки позначають часові похідні. Якщо ви робите просте розмежування їх у першому порядку, перекладене Ейлером, ви знайдете

\begin{aligned} \dot{х} & = v \\ \dot{v} & = \frac{Ж}{м}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$

m

$m$

або

\begin{aligned} \frac{х_{н + 1} - х_{н}}{Δ т} & = v_{н} \\ \frac{v_{н + 1} - v_{н}}{Δ т} & = \frac{Ж_{н}}{м}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$

\begin{aligned} х_{н + 1} & = х_{н} + Δ т \cdot v_{н} \\ v_{н + 1} & = v_{н} + Δ т \frac{Ж_{н}}{м} . \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$

n

$n$

$t_n$ $t_{n+1}$ $t_{n+1/2}$ $x_0$ $v_{1/2}$

\begin{aligned} х_{н + 1} & = х_{н} + Δ т \cdot v_{н + 1 / 2} \\ v_{н + 1 / 2} & = v_{н - 1 / 2} + Δ т \frac{Ж_{н}}{м} \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$ інтегруватися вперед у часі. Це відомий як стрибковий метод . Завдяки цьому ваша система зберігає енергію свого роду, і орбіти рідше відлітають у нескінченність або щось подібне через експоненціальне зростання помилки округлення.

Єдина уловка - як її дістати $v_{1/2}$ , оскільки, імовірно, ви починаєте з $v_0$ . Там ви повинні просто використовувати настільки точну схему, як ви готові до написання, популярним вибором є Runge-Kutta четвертого порядку. Це може бути довгостроково нестабільним, але існує лише стільки помилок, які ви введете за півтора кроку, і ця помилка буде збережена невеликою формою після цього.

Нарешті, ця відповідь стосується будь-якої загальної ньютонівської сили тяжіння. Якщо ви дійсно хочете досконалих кіл, як це було сказано в запитанні, ви не отримаєте таких, крім ідеалізованої системи, в якій планети не взаємодіють одна з одною, і початкові умови вибираються правильно. Якщо це так, то вам взагалі не потрібно інтегруватися, оскільки кутова швидкість (радіани за одиницю часу) такого об’єкта просто

ω = \sqrt{\frac{Г М}{r^{3}}},

$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$ де

M

$M$ - маса центрального об'єкта і

r

$r$ - радіус орбіти. Це можна використовувати для перевірки точності вашого моделювання.

Гей, чи можете ви пояснити, чому мені не потрібен 0.5фактор? Здається, робиш те саме, що швидкості n-1/2dtсекунди тому, і це те, що, здається, ти пропонуєш.

— jcora

Це було б те саме, якщо швидкість на

(n - 1)

$(n-1)$ було 0. Що ви хочете, це оцінка першого порядку середнього значення

v_{n}

$v_n$ і

v_{n + 1}

$v_{n+1}$ (останнього ви не знаєте), а не середнього значення

v_{n}

$v_n$ і

0

$0$ .