Багато чисельних методів для гіперболічних ФДЕ засновані на використанні рішучів Рімана. Такі розв'язувачі важливі для точного вловлювання ударних хвиль. Існує ряд таких розв'язувачів, доступних для найбільш добре вивчених систем (наприклад, точні розв'язувачі, розв'язувачі Roe, HLL-розв'язувачі). Як я повинен вирішити, що використовувати?
Відповіді:
Для чисельного вирішення гіперболічних ПДД використання рішувачів Рімана є важливими компонентами консервативних методів захоплення шоком для точного моделювання хвильових проблем, які можуть мати поштовхи (переривчасті стрибки у збережених змінних). Щоб мати змогу отримати точні рішення подібних проблем, нам потрібно використовувати належні методи висвітлення - за це відповідальний вирішувач Рімана. Рішення Рімана шукає точне рішення проблеми інтерфейсу між клітинками (fx. У кінцевих томах) або елементами (fx. У методах скінченних елементів Галеркина). Розв’язання цієї проблеми інтерфейсу базується на вирішенні будь-якої сторони інтерфейсу і прагне використовувати це як основу для точної реконструкції (числового) потоку (з точки зору збережених змінних) по всьому інтерфейсу.
Існує два стандартних підходи до вирішення таких (локальних в інтерфейсі) задач Рімана, а саме точні та приблизні рішення Рімана. Для багатьох PDE не існує точного рішення закритої форми, і в цьому випадку ми повинні вдатися до наближення рішень Рімана. На практиці може бути (занадто) дорогим вирішення задач Рімана, і в цьому випадку може бути більш практичним вдатися до наближення рішень Рімана. З цієї ж причини флюси типу «Лакс-Фрейдріхс» широко використовуються як простий засіб.
По суті, вибір між рішальниками Рімана пов'язаний з тим, наскільки точно прагнемо представити хвильові швидкості розчину та отриману ефективність.
Це залежно від проблеми. Проблема Рімана ґрунтується на даних з будь-якої сторони інтерфейсів комірок. Для реконструкції потоку в інтерфейсі на основі цих даних ми повинні знати інформацію про повну хвильову структуру гіперболічного PDE. Це робить проблему Рімана залежною від проблеми, а отже, і вибір рішення Рімана. Коротше кажучи, точні розв'язувачі прагнуть врахувати повну хвильову структуру, розчинник Roe заснований на локальному наближенні (шляхом лінеаризації та спеціального усереднення) локальної хвильової структури, розв'язувач HLL заснований на оцінці двох домінуючих швидкостей хвилі в локальній хвильова структура, а потім накладають збереження, задовольняючи умову Ранкіна-Гугоніота, щоб утримувати поштовхи або переривання контактів.
Таким чином, вибір між конкретними розв'язувачами, точними розв'язниками або приблизними розв'язниками Roe / HLL / тощо залежить від досягнення балансу між точністю (імітуючи основні фізики модельних рівнянь) та потребами в ефективності. Зрештою - як я бачу - у практичному застосуванні часто вимоги до ефективності диктують використання наближених рішальників Рімана (фх. Типу Лакса-Фрідріха).
Гарну експозицію до цієї теми дає Е. Ф. Торо у своєму підручнику "Ріман Рімен і чисельні методи динаміки рідини", Спрінгер.
Мене вважають, що для чисельності низького порядку потрібні якісні розв'язувачі Рімана, а для числових високих порядків можна використовувати рішучі Рімана. Інтуїтивно є деяка кількість ФЛОП, необхідних для захоплення фізики, під якою знаходиться шланг.
І так, у цій відповіді також є нульовий зміст з точки зору метрики оцінювання ...