Чому місцева охорона важлива при вирішенні PDE?

Інженери часто наполягають на застосуванні локально консервативних методів, таких як кінцевий об'єм, консервативна кінцева різниця або переривчасті методи Галеркіна для вирішення ПДЕ.

Що може піти не так, якщо використовувати метод, який не є локально консервативним?

Гаразд, тому місцева збереження важлива для гіперболічних ФДЕ, а як щодо еліптичних ФДЕ?

У розчині нелінійних гіперболічних ФДЕ розриви («шоки») з’являються навіть тоді, коли початковий стан є рівним. За наявності розривів поняття рішення можна визначити лише у слабкому сенсі. Числова швидкість удару залежить від встановлених правильних умов Ранкіна-Гугоніота, що, в свою чергу, залежить від чисельного задоволення локального закону цілісного збереження на місцях. Лакс-Вендрофф теорема гарантує , що сходиться чисельний метод сходиться до слабкого рішенням гіперболічного закону збереження тільки якщо метод є консервативним.

Мало того, що потрібно використовувати консервативний метод, насправді потрібно використовувати метод, який зберігає потрібні кількості. Є приємний приклад, який пояснює це в «Методах кінцевих обсягів для гіперболічних проблем» LeVeque, Розділ 11.12 та Розділ 12.9. Якщо ви дискретизуєте рівняння Бургера

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

шляхом послідовної дискретизації

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

ви помітите, що поштовхи рухаються з неправильною швидкістю, незалежно від того, наскільки ви доопрацюєте сітку. Тобто числове рішення не зблизиться з істинним рішенням . Якщо ви замість цього використовуєте консервативну дискретизацію

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

виходячи з диференціального потоку, поштовхи будуть рухатися з правильною швидкістю (для цього рівняння - середнє значення станів ліворуч та праворуч від удару). Цей приклад проілюстровано в цьому зошиті IPython, який я написав .

Для лінійних гіперболічних ФДЕ та для інших типів ФДЕ, які зазвичай мають гладкі розчини, локальне збереження не є необхідним інгредієнтом для конвергенції. Однак це може бути важливо з інших причин (наприклад, якщо загальна маса є величиною, що становить інтерес).

Я думаю, що одна відповідь на ваше питання полягає в тому, що певні громади просто завжди використовували консервативні схеми, і це стало частиною "так, як це робиться". Можна заперечити, чи це найкращий спосіб зробити це, але це настільки ж плідно, як просити британців їхати праворуч, бо просто зручніше було б мати лише на стандартній стороні.

Однак, я бачу випадки, коли це корисно. Подумайте, наприклад, про двофазний пористий носій. Ця проблема зазвичай задається наступним чином:

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ Тут частина проблеми полягає у вирішенні змішаного Лапласа, який складається з перших двох рівнянь, завдання, яке традиційно виконується за допомогою елементів Равіара-Томаса. Їх часто вибирають через "важливість забезпечення масового збереження", і я в певному сенсі можу зрозуміти, що: якщо ви закінчите поле зі швидкістю, яке не є масовим консервативним, ви отримаєте рівняння насичення, яке не зберігає загальну кількість маса транспортованої рідини. Звичайно, можна стверджувати, що це було б не так вже й погано, оскільки все було б однаково в межі$h\rightarrow 0$, але наполягання на тому, щоб ця властивість містилася навіть для кінцевих розмірів сітки, має певний сенс.

Багато разів рівняння, які слід розв’язати, представляють закон фізичного збереження. Наприклад, рівняння Ейлера для динаміки рідини - це зображення збереження маси, імпульсу та енергії. З огляду на те, що основна реальність, яку ми моделюємо, є консервативною, вибирати методи, які також є консервативними

Можна також побачити щось подібне з електромагнітними полями. Закони Максвелла включають умову без дивергенції магнітного поля, але це рівняння не завжди використовується для еволюції полів. Метод, який зберігає цю умову (наприклад: обмежений транспорт), допомагає відповідати фізиці реальності.

Редагувати: @hardmath зазначив, що я забув вирішити частину питання "що може піти не так" (Спасибі!). Питання стосується конкретно інженерів, але я надам декілька прикладів із моєї власної галузі (астрофізика) і сподіваюся, що вони допоможуть проілюструвати ідеї, достатньо для узагальнення того, що може піти не так в інженерному застосуванні.

(1) Симулюючи наднову, у вас є динаміка рідини, пов'язана з мережею ядерних реакцій (та інша фізика, але ми це ігноруємо). Багато ядерних реакцій сильно залежать від температури, яка (до наближення першого порядку) є деяким показником енергії. Якщо вам не вдасться зберегти енергію, температура буде або занадто високою (в такому випадку ваші реакції протікають занадто швидко, і ви вводите набагато більше енергії, і ви отримуєте втечу, якого не повинно існувати) або занадто низький (у такому випадку ваші реакції бігайте занадто повільно, і ви не можете живити наднову).

(2) Симулюючи двійкові зірки, потрібно переробити рівняння імпульсу, щоб зберегти імпульс кута. Якщо вам не вдалося зберегти кутовий імпульс, то ваші зірки не можуть правильно обертатися одна над одною. Якщо вони набувають додатковий кутовий імпульс, вони відокремлюються та перестають правильно взаємодіяти. Якщо втрачають кутовий імпульс, вони врізаються один в одного. Подібні проблеми виникають при моделюванні зоряних дисків. Збереження (лінійного) імпульсу є бажаним, оскільки закони фізики зберігають лінійний імпульс, але іноді доводиться відмовлятися від лінійного імпульсу і зберігати імпульс кута, оскільки це важливіше для проблеми, що існує.

Маю визнати, не дивлячись на те, що цитують умови, що не мають дивергенції магнітних полів, я там не так добре обізнаний. Невиконання умови, що не має дивергенції, може призвести до отримання магнітних монополів (про що ми не маємо доказів на даний момент), але я не маю жодних прикладних прикладів проблем, які можуть викликати моделювання.

Сьогодні я натрапляю на тезу "Схема EMAC для моделювання Нав'є-Стокса" та застосування для протікання тіл "Блеф", і зауважую, що розділ 1.2 відповідає, хоча б частково, на питання ОП. Відповідні частини:

У спільноті обчислювальної динаміки рідин ( CFD ) існує широка думка, що чим більше фізики вбудовано в дискретизацію, тим точнішими та стабільнішими є дискретні рішення, особливо через більш тривалі інтервали часу. Н. Філліпс у 1959 р. [42] побудував приклад баротропного нелінійного вихрового рівняння (використовуючи скінченно різницю схеми), де тривала інтеграція термінів конвекції призводить до збою чисельного моделювання для будь-якого кроку часу. В [4] Аракава показав, що можна уникнути проблем нестабільності при інтеграції протягом тривалого часу, якщо кінетична енергія та енстрофія (в 2D) зберігаються за схемою дискретизації. …. У 2004 році Лю і Ван розробили, що зберігає спільність і енергію для тривимірних потоків. У роботі [35] вони представлені схемою збереження енергії та спіральності для осесиметричних потоків. Вони також показують, що їх подвійна схема збереження виключає необхідність великої нефізичної чисельної в'язкості. …

... У CFD вже десятиліттями відомо, що чим більше фізичних величин зберігається за схемою кінцевих елементів, тим точніше прогнозування, особливо протягом тривалих часових інтервалів. Таким чином, рішення, надані за фізично більш точною схемою, також є більш фізично релевантними. Якщо можна було дозволити собі повністю розв’язану сітку та нескінченно малий часовий крок, вважається, що всі загальновживані схеми кінцевих елементів забезпечують однакові чисельні рішення. Однак на практиці не можна дозволити собі повністю розв’язану сітку в 3D-симуляціях, особливо для проблем, що залежать від часу. Наприклад, у главі 2 нам потрібно 50-60 тис. Кроків часу, де кожен крок вимагає вирішення розрізненої лінійної системи з 4 мільйонами невідомих. Це вимагало 2-3 тижнів обчислювального часу з високопаралельним кодом на 5 вузлах з 24 ядрами кожен.