Які просторові дискретизації працюють для несжимаемого потоку з анізотропними прикордонними сітками?

Високі потоки Рейнольдса створюють дуже тонкі граничні шари. Якщо роздільна здатність стіни використовується в симуляції великого вихру, співвідношення сторін може бути в порядку . Багато методів стають нестабільними в цьому режимі, оскільки константа інфупп деградує, оскільки квадратний корінь співвідношення сторін або гірше. Постійна інф-супу важлива, оскільки вона впливає на номер умови лінійної системи та апроксимаційні властивості дискретного рішення. Зокрема, наступні апріорні межі на дискретній помилці (Brezzi та Fortin 1991)$10^6$

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

де $\mu$ - динамічна в'язкість, а $\beta$ - постійна інфуп. З цього ми бачимо, що як $\beta \to 0$ , наближення швидкості та (особливо) тиску стає гіршим, ніж найкращий, доступний у просторі кінцевих елементів (тобто константа оптимальності Галеркина зростає як $\beta^{-1}$ та $\beta^{-2}$ відповідно).

Які методи мають рівномірну стабільність інфляції незалежно від співвідношення сторін?

Які з них можна використовувати з неструктурованими сітками?

Як оцінки узагальнюються до наближень високого порядку?

Схеми кінцевих різниць MAC (Harlow і Welch 1965) однаково стабільні, але потребують гладких структурованих сіток і точні лише другого порядку.

Методи кінцевих елементів є кращими для неструктурованих і методів високого порядку. Для методів безперервних кінцевих елементів Галеркина не відомі простори, які мають оптимальні апроксимаційні властивості та однаково стійкі.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ має оптимальні апроксимаційні властивості та локально консервативні, але константа inf-sup деградує як квадратний корінь співвідношення сторін. Докладніше див. У Bernardi & Maday 1999.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ має постійну інф-суп, не залежну від співвідношення сторін і локально консервативну, але константна масштабність inf-sup як оскільки поліноміальний порядок збільшується (Maday et al. 1992) на регулярних сітках форми. На сітках з висячими вузлами або відкидними кутами ця межа різка в 2D (Schoetzau et al 1998), але надалі погіршується до в 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• Повернений невідповідна елемент з Rannacher & Турек тисячі дев'ятсот дев'яносто чотири рівномірно стійка, має оптимальні властивості апроксимації, і локально консервативний, але вона не задовольняє нерівність дискретного Корна, тому вона потребує в граничних коригування деяких граничних умов і не може бути використана для потоки змінної в'язкості. Подальша робота авторів дозволила стабілізувати ці методи за допомогою крайових потоків, однак отримані розсуди втрачають багато привабливих властивостей ефективності.$Q_1-P_0$

• Ainsworth та Coggins 2000 створюють високо технічні простори, які є дещо кращими, але здаються обмеженими.

Для розривного Галеркіна картина дещо краща:

• простір рівномірно стійкий і має оптимальні апроксимаційні властивості (Schoetzau, Schwab, Toselli 2004). Ця комбінація недоступна для просторів безперервної швидкості. Константа інф-супу все ще залежить від ступеня полінома, проте масштабуючи як .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$