Які методи можуть забезпечити, щоб фізичні величини залишалися позитивними протягом моделювання PDE?

Фізичні величини, такі як тиск, щільність, енергія, температура та концентрація, завжди повинні бути позитивними, але числові методи іноді обчислюють негативні значення під час процесу розчинення. Це не нормально, оскільки рівняння будуть обчислювати складні або нескінченні значення (як правило, збій коду). Які числові методи можна використовувати, щоб гарантувати, що ці величини залишаються позитивними? Який із цих методів є найбільш ефективним?

Найпоширеніший метод - скидання від’ємних значень на якесь невелике, додатне число. Звичайно, це не математично обгрунтоване рішення. Кращим загальним підходом, який може працювати і простий, є зменшення розміру вашого кроку часу.

Негативні значення часто виникають у розчині гіперболічних ФДЕ, оскільки поява шоків може призвести до коливань, які, як правило, створюватимуть негативні значення, якщо поблизу удару є стан вакууму. Використання загального зменшення варіацій (TVD) або іншого не коливального ( ENO, WENO ) методу може зменшити цю тенденцію. Ці методи засновані на використанні нелінійних обмежувачів для обчислення похідних розчину. Однак ви все одно можете отримати негативні значення з кількох причин:

• Якщо ви використовуєте метод рядків і застосуєте інтегратор часу високого порядку. Більшість схем TVD є, очевидно, TVD лише в напівдискретному розумінні або за методом Ейлера. Для інтеграції більш високого порядку слід використовувати сильну дискретизацію збереження стабільності (SSP) ; ці схеми також відомі як "контрактивні" або "збереження монотонності". Існує нещодавня книга на цю тему Сигала Готліба, Чі-Ван Шу і я.
• Якщо ви не використовуєте локальне характерне розкладання для систем рівнянь, вашим рішенням не буде TVD (схеми TVD мають цю властивість лише для скалярних задач). Тому найкраще реконструювати / інтерполювати в характерні змінні.
• Якщо у вас нелінійна система, негативні значення можуть виникнути, навіть якщо ви використовуєте локальне характерне розкладання. Наприклад, будь-який лінеаризований рішень Рімана (наприклад, розчинник Роя) для рівнянь мілководдя або рівняння Ейлера може бути показаний для генерування негативних значень у досить складних умовах. Рішення полягає у використанні розв'язувача HLL (або варіанту HLL); деякі з них мають позитивний позитивний характер.
• Схеми TVD - лише другого порядку; Не коливальні схеми вищого порядку, такі як WENO, суворо не відповідають принципам TVD або максимуму. Але нова модифікація цих схем високого порядку робить; він розроблений у кількох останніх роботах Xiangxiong Zhang (студент Chi-Wang Shu).

Звичайно, існує багато інших спеціалізованих підходів для конкретних рівнянь, наприклад, у коді GeoClaw Девіда Джорджа, який використовує розв'язувач Рімана з додатковими нефізичними хвилями для забезпечення позитивності.

Якщо припустити, що ми розв'язуємо гіперболічні рівняння без будь-яких джерельних термінів і припустимо, що ми надаємо фізичні початкові умови, переконавшись, що числова схема, яку ми використовуємо, « Повне зменшення варіацій» є хорошим способом забезпечення «фізичності» обчисленого рішення. Оскільки схема TVD зберігає монотонність, нові мінімуми чи максимуми не створюватимуться, і рішення залишатиметься обмеженим початковими значеннями, які, як ми сподіваємося, встановлені правильно. Звичайно, питання полягає в тому, що схеми TVD не є найбільш очевидними. Серед лінійних схем лише схеми першого порядку - ТВД (Годунов 1954). Тож з 50-х рр. Розроблено різноманітні нелінійні схеми ТВД для поєднання високої точності та монотонності для рішення гіперболічних рівнянь.

Для моїх застосувань, розв'язуючи рівняння Нав'є-Стокса з великими градієнтами тиску / щільності, ми використовуємо гібридну MUSCL -центральну схему, щоб захопити великі градієнти / розриви і зберегти хорошу точність подалі від них. Першу схему MUSCL (MUSCL розшифровує як монотонні схеми, орієнтовані на течію законів охорони природи) була розроблена Ван Лером у 1979 році.

Якщо ви хочете дізнатися більше про цю тему, будь ласка, проконсультуйтеся з творами Хартена, Ван Лера, Лакса, Сода та Торо.

Наведені вище відповіді стосуються проблем, залежних від часу, але ви також можете вимагати позитивності у простому еліптичному рівнянні. У цьому випадку ви можете сформулювати це як варіативну нерівність , надаючи межі змінним.

У PETSc є два розв'язувачі VI. Один використовує метод зменшеного простору, коли змінні в активних обмеженнях видаляються із системи, яку потрібно вирішити. Інший використовує напівгладкий метод Ньютона .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Зазвичай схеми дискретизації, що призводять до M-матриці, називаються монотонними схемами, і це ті схеми, які зберігають негативність.