PDE в багатьох вимірах

Я знаю, що більшість методів пошуку наближених рішень до PDE погано масштабуються з кількістю вимірів, і що Монте-Карло використовується для ситуацій, що вимагають ~ 100 вимірів.

Які хороші методи ефективного чисельного вирішення PDE в розмірах ~ 4-10? 10-100?

Чи існують якісь методи, окрім Монте-Карло, які добре співпадають із кількістю вимірів?

pde monte-carlo high-dimensional

— Ден
джерело

Це може допомогти надати трохи більше інформації про тип проблеми, яку ви вирішуєте. Більшість PDE обробляється в обчислювальній науці, як правило, не більше чотиривимірного (час плюс три просторові виміри). Чи є змінні просторовими чи часовими змінними, чи є інші залежності, які ви включаєте?

— aeismail

Просторові змінні. У квантовій механіці , якщо ви не хочете , щоб зробити наближення, використовувати в теорії функціонала щільності або Хартрі-Фоке, хвильова функція є

одновимірним, де

є число електронів. Тож навіть для невеликих атомів та молекул потрібна велика кількість розмірів, щоб правильно поводитися.

3 n

$3n$

n

$n$

— День

Багато що залежить від того, яку інформацію ви хочете знати про рішення. Навряд чи хочеться знати кожну деталь про функцію хвилі

-електрон. Отже, треба пристосувати обчислювальну техніку до бажаної інформації.

n

$n$

— Арнольд Ноймаєр

Будь ласка, наведіть посилання на рішення Монте-Карло електронного рівняння Шредінгера у 100 вимірах.

— Арнольд Ноймаєр

У мене немає довідки. Я чув лише про симуляції в тих численних вимірах, які використовуються для QCD. Я дивлюся лише на те, щоб зробити моделювання Шредінгера в 4-5 вимірах, але мені було цікаво, чи що, крім monte carlo, добре масштабується з кількістю розмірів, і 100 здалося гарним, великим круглим числом, щоб отримати асимптотичне масштабування.

— День

Відповіді:

Більш структурованим способом забезпечення основи або квадратури (яка може замінити МС у багатьох випадках) у кількох вимірах є спосіб розріджених сіток , який поєднує в собі певне сімейство одновимірних правил різного порядку таким чином, щоб мати просто експоненціальне зростання в розмірність, , а не його розмір - це показник роздільної здатності . $2^d$ $N^d$

Це робиться через те, що відоме як квадратура Смоляка, що поєднує в собі ряд одновимірних правил як $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Це еквівалентно простору квадратури тензорного добутку з високими змішаними порядками, видаленими з простору. Якщо це зробити досить серйозно, складність може бути значно поліпшена. Однак, щоб можна було це зробити і зберегти гарне наближення, регулярність розчину повинна мати достатньо зниклих змішаних похідних.

Грубі сітки Грібеля забили рідкісні сітки за такі речі, як рівняння Шредінгера в просторі конфігурації та інші речі високого розміру з досить хорошими результатами. У застосуванні базові функції, що використовуються, можуть бути досить загальними, якщо ви можете їх вкладати. Наприклад, загальні площинні хвилі або ієрархічні бази.

Також досить просто кодувати себе. З мого досвіду, однак, змусити працювати над цими проблемами дуже важко. Хороший підручник існує.

Для проблем, рішення яких живуть у спеціалізованих просторах Соболєва, де є похідні, які швидко гинуть, підхід із розрідженою сіткою може потенційно дати ще більші результати .

Дивіться також оглядовий документ Acta Numerica, розрізнені тензорні дискретизації високомірних параметричних та стохастичних PDE .

— Пітер Брюн
джерело

Чи відомі приклади, коли розріджені сітки не застосовуються?

— MRocklin

Вам справді потрібна регулярність проведення. Крім того, якщо у вас неприємні високі розміри (наприклад, у QM), ви повинні бути обережними. Я чув кілька історій про кліці розрідженій Сітки починає поступатися (з доказами навіть) , що це не так, що набагато краще , ніж Монт-Карло, але не можу знайти хорошу посилання.

— Пітер Брун

Ну, папір про розріджену сітку для шроддингера ви згадували лише про 2 електрони. Скільки електронів насправді можна відстежити методом?

— Арнольд Ноймаєр

Як правило, легко зрозуміти, чому звичайні сітки не можуть перевищувати 3-х або 4-мірних задач: у d-розмірах, якщо ви хочете мати мінімум N точок на координатний напрямок, ви отримаєте N ^ d бали в цілому. Навіть для відносно приємних функцій в 1d вам потрібно принаймні N = 10 точок сітки, щоб їх вирішити взагалі, тому загальна кількість балів складе 10 ^ d - тобто навіть на найбільших комп'ютерах ви навряд чи зможете вийти за межі d = 9, і, ймовірно, не вийде далеко за рамки ніколи . Рідкі сітки можуть допомогти в деяких обставинах, якщо функція рішення має певні властивості, але в цілому вам доведеться жити з наслідками прокляття розмірності та йти методами MCMC.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Що означає MCMC?

— Дан

Ланцюжок Маркова Монте-Карло: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Джек Поульсон

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Пол
джерело

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$