Стратегії методу Ньютона, коли якобіан у рішенні є сингулярним

Я намагаюся вирішити наступну систему рівнянь для змінних та (все інше - константи):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Я бачу, що я можу перетворити цю систему рівнянь в єдине рівняння єдиної змінної , розв’язавши рівняння 1 та 2 для та відповідно та замінивши їх у рівняння 3. При цьому я можу використовувати matlab's команда для пошуку рішення. Використовуючи параметри , та , я знайшов справжнє рішення .$(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$$P=x_1=x_2=0.5$

Однак, коли я використовую метод Ньютона, застосований до оригінальної системи рівнянь 3 змінної - 3, ітерації ніколи не сходяться до рішення, незалежно від того, наскільки близько я починаю до справжнього рішення . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Спочатку я підозрював свою помилку в застосуванні методу Ньютона. Перевіривши кілька разів, я не виявив жодної помилки. Тоді я спробував використати початкове здогадка , і ось & ось: якобіан є одниною. Я знаю, що особливий якобійський може зменшити порядок конвергенції, але я не думаю, що це обов'язково перешкоджає зближенню до справжнього рішення. $x_0=x^*$

Отже, моє запитання, враховуючи, що якобіан системи при справжньому рішенні є єдиним:

1. Які ще умови необхідні, щоб довести, що метод Ньютона не зблизиться з коренем?

2. Чи гарантувала б стратегія глобалізації (наприклад, пошук рядків) конвергенцію, незважаючи на особливий якобійський характер?

(1): Це залежить від поведінки похідних якобіанців (sic!) В нульовому просторі якобіанського рішення. На практиці ніхто не обчислює ці похідні, і я навіть не намагався згадати точні умови.

(2) працює, хоча конвергенція лише лінійна.

Для отримання суперлінійної конвергенції (принаймні в більшості випадків) можна використовувати тензорні методи. Дивіться, наприклад,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ покажчик / X5G827367G548327.pdf

Замість пошуку рядків ви можете спробувати змінити метод Ньютона на алгоритм Левенберга-Маркарда . Реалізація досить проста, якщо ви використовуєте Matlab.