Як я можу чисельно диференціювати нерівномірно функцію вибірки?

Стандартні формули з кінцевою різницею можна застосовувати для чисельного обчислення похідної під очікуванням, що у вас є значення функції у рівномірно розташованих точках, так що є постійною. Що робити, якщо у мене нерівномірно розташовані точки, так що зараз змінюється від однієї пари сусідніх точок до наступної? Очевидно, я все ще можу обчислити першу похідну як , але чи є формули числової диференціації у вищих порядках і точності, які можуть адаптуватися до змін розміру сітки?h ≡ x k + 1 - x k h f ′ ( x ) ≈ $f(x_k)$$h \equiv x_{k+1} - x_k$$h$$f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]$

Коментар Дж. М. є правильним: ви можете знайти інтерполяційний поліном і диференціювати його. Є й інші способи виведення таких формул; як правило, всі вони призводять до розв'язання системи ван дер Монде для коефіцієнтів. Цей підхід є проблематичним, коли трафарет кінцевої різниці включає велику кількість балів, оскільки матриці Вандермондза стають поганими умовами. Форнберг створив більш чисельно стійкий підхід , який пояснюється більш чітко та загалом у другій його статті.

Ось простий скрипт MATLAB, який реалізує метод Форнберга для обчислення коефіцієнтів наближення скінченної різниці для будь-якої похідної порядку з будь-яким набором точок. Для приємного пояснення дивіться розділ 1 тексту LeVeque про методи кінцевих різниць .

Трохи більше про формули FD: Припустимо, у вас є 1D сітка. Якщо ви використовуєте цілий набір точок сітки для визначення набору формул FD, отриманий метод еквівалентний пошуку інтерполяційного полінома через всю сітку та диференціації цього. Цей підхід називають спектральною колокацією. Крім того, для кожної точки сітки можна визначити формулу FD, використовуючи лише кілька сусідніх точок. Це робиться традиційними методами кінцевих різниць.

Як зазначалося в коментарях нижче, використання обмежених різниць дуже високого порядку може призвести до коливань (феномен Рунге), якщо точки не будуть обрані ретельно.

http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/

Це стосується вашого питання та показує формулу, яку ви шукаєте, для другої похідної. Похідні вищого порядку дотримуються тієї ж схеми.

Наведені вище відповіді чудові з точки зору надання вам коду, але теоретично не дуже гарні. Якщо ви хочете заглибитися в інтерполяцію поліномів, погляньте на цю теоретичну обробку з кількома конкретними прикладами:

Сінгх, Ашок К. і Б. С. Бхадаурія. "Формули скінченної різниці для неоднакових під інтервалів за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа." Міжнародний журнал математики та аналізу 3.17 (2009): 815-827. ( Посилання на PDF )

Автори використовують Lagrangian Interpolation (див. Статтю у Вікіпедії ) для обчислення 3-бальних, 4-точкових та 5-точкових інтерполяційних поліномів, а також їх першої, другої та третьої похідних. Вони також мають вирази для помилки усікання, що важливо враховувати при використанні будь-якої схеми кінцевих різниць. Вони також мають загальну формулу для обчислення інтерполяційних поліномів за допомогою N точок.

Інтерполяційні поліноми Лагранжа є корисними, оскільки вони та їх похідні можуть бути дуже точними в області інтерполяції, і вони не припускають рівного міжряддя. Через природу лапоранських інтерполяційних поліномів ви ніколи не можете мати більше порядків похідних, ніж у вас є точки сітки.

Я думаю, що це добре відповідає на ваше запитання, тому що в роботі, яку я цитував, є формули для довільно схем кінцевих різниць високого порядку, які за своєю природою призначені для нерівних сіток і обмежені лише кількістю точок сітки, які ви включаєте у свій трафарет. У статті також є загальна формула для помилки усікання, яка допоможе вам оцінити інтерполяційну поліноміальну схему Лагрангія щодо інших схем, які ви могли б розглянути. Документ автора повинен дати ті ж результати, що і метод Форнберга. Їх внесок справді є лише підрахунком кількох прикладів та оцінкою помилки, яка може виявитися корисною.

Я знайшов як папір я цитовану і роботу Fornberg, щоб бути корисними для моїх власних досліджень.

Я знайшов цю роботу на формулах з обмеженою різницею з неоднаковими інтервалами . Я буду використовувати це замість інтерполяції. Як тільки я наберу всі формули, я опублікую їх тут.

Найпростіший метод полягає у використанні скінченних різницьких наближень.

Проста двоточкова оцінка - обчислити нахил сусідньої секантної лінії через точки (x, f (x)) та (x + h, f (x + h)). [1] Вибираючи невелику кількість h, h являє собою невелику зміну x, і вона може бути як позитивною, так і негативною. Нахил цієї лінії є

Цей вираз є коефіцієнтом різниці Ньютона.

Нахил цієї семантичної лінії відрізняється від нахилу дотичної лінії на величину, приблизно пропорційну h. Коли h наближається до нуля, нахил секантної лінії наближається до схилу дотичної лінії. Отже, справжня похідна f при x - це межа значення коефіцієнта різниці, коли секантні лінії наближаються і наближаються до дотичної лінії