Які ефективні, точні алгоритми для оцінки гіпергеометричних функцій?

16

Мені цікаво знати, які хороші числові алгоритми існують для оцінки узагальненої гіпергеометричної функції (або серії), визначеної як

_{p} Ж_{q} (а_{1}, \dots, а_{p}; б_{1}, \dots, б_{q}; z) = \sum_{к = 0}^{\infty} \frac{(а_{1})_{к} \dots (а_{p})_{к}}{(б_{1})_{к} \dots (б_{q})_{к}} \frac{z^{к}}{к!}

${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$

Взагалі цей ряд не обов'язково збирається дуже швидко (або взагалі), тому підбиття підсумків один за одним здається менш ідеальним. Чи існує якийсь альтернативний метод, який працює краще? Щоб бути конкретним, я шукаю щось, що дасть 4 або 5 цифр точності з розумною кількістю обчислень.

Найпоширеніші випадки, які я зазвичай бачу використаними, це і , але в конкретному проекті, над яким я працюю, у мене є потреба у . Очевидно, що загальний алгоритм для будь-яких і є ідеальним, але я візьму те, що можу отримати. $p=1,q=1$ $p=2,q=1$ $p=1,q=2$ $p$ $q$

special-functions

— Девід Z
джерело

Якщо ваш випадок не висвітлений у посібнику Абрамовіца та Стегуна ( people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm ), чого це не так, ви в основному приречені зрозуміти це самостійно, я ' боюся ...

— Хайме

15

В одному застосуванні, швидше за все, вам знадобиться лише невеликий підмножина всіх можливих крайностей узагальненої гіпергеометричної функції. Адже це дуже загальна функція. Маючи уявлення про діапазон і параметри дозволило б дати більш конкретні поради. $z$ $a_i, b_i$

Загалом, стандартний метод, припускаючи , звичайно, використовує визначальний ряд потужностей, коли невеликий. Якщо , то найкраще перейти до асимптотичного розширення, коли великий, або тому, що серія Тейлора конвергується занадто повільно та / або тому, що стає занадто неточною через катастрофічне скасування. Найкраще обрізання між цими алгоритмами залежить від параметрів та вимог до точності. $p \le q + 1$ $|z|$ $p < q + 1$ $|z|$

Для асимптотический ряд задаєтьсяhttp://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/Це виглядає досить жахливо, але якщо ваш фіксовані, ви можете заздалегідь обчислити числові значення для коефіцієнтів. Загальні формули можна знайти в DLMF:http://dlmf.nist.gov/16.11(зауважте, що для вибору правильнихобрізів гілокпотрібна певна обережність.) ${}_1F_2$ $a_1, b_1, b_2$

$z$

$p = q + 1$ $1/z$ $p > q + 1$

Для повної реалізації також слід розглянути інші питання (наприклад, розробка параметрів, які є надзвичайно великими або дуже близькими до від'ємних цілих чисел). Для досить поганих параметрів буде дуже важко отримати точні значення з подвійною точністю, незалежно від того, що ви робите, тому може знадобитися арифметика довільної точності.

Слід зазначити, що я написав майже повну чисельну реалізацію узагальненої гіпергеометричної функції для бібліотеки mpmath (на даний момент відсутній асимптотичний ряд для функцій, вищих ніж ${}_2F_3$

— Фредрік Йохансон
джерело

Відмінно! На жаль, я не можу отримати більш конкретні дані щодо значень параметрів, оскільки функція з'являється в багатьох місцях з різними значеннями. Мені напевно буде цікаво використовувати та / або переглянути вашу реалізацію в mpmath в якийсь момент.

— Девід Z

1

Відповідь Фредріка правильна. Я хотів би лише зазначити, що в кінцевому підсумку я використав раціональне наближення (від Mathematica) для спеціальних значень коефіцієнтів "a" та "b", тому що це точно для всіх реальних "z" (я розділив реальну вісь на інтервали і використовували різне раціональне наближення до кожного) і дуже швидко. Я використовував mpmath, щоб перевірити точність моєї подвійної точності реалізації у Fortran.

— Ondřej Čertík

2

Канонічна довідка для всіх спеціальних функцій - Абрамович і Стегун. Це книга, яка вже близько півстоліття, і якщо у ній щось не можна знайти, подивіться на "оновлене друге видання", яке насправді є веб-сайтом, організованим Національним інститутом стандартів (NIST) ). У мене немає точної URL-адреси, але знайти її не слід дуже складно.

— Вольфганг Бангерт
джерело

2

Зараз це називається "Цифрова бібліотека математичних функцій"; гіпергеометричні функції є предметом глави 15 .

— Крістіан Класон

1

_{2} F_{1}

$_2F_1$

_{1} F_{2}

$_1F_2$