Чи допомагає перетворення

Я чув анекдотично, що коли намагається чисельно зробити інтеграл форми

\int_{0}^{\infty} f (х) J_{0} (х) г х

$\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x$

з $f(x)$ плавним і добре поводиться (наприклад, не є самим високо коливальним, несинулярним тощо), то це допоможе точності переписати його як

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} f (х) \cos (х гріх θ) г х г θ

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta$

і виконайте внутрішній інтеграл чисельно спочатку. Я не бачу жодної причини, щоб очікувати, що це спрацює, але знову ж таки точність числового методу рідко очевидна.

Звичайно, я знаю, що найкращий спосіб насправді зробити це - використовувати метод, оптимізований для коливальних інтегралів, як це, але заради цікавості, припустимо, я обмежуюся використанням якогось квадратурного правила. Чи може хтось підтвердити або спростувати, що здійснення цього перетворення має тенденцію до підвищення точності інтеграла? І / або вказати мені на джерело, яке пояснює це?

quadrature special-functions

— Девід Z
джерело

Інтегрована понад

... Це одне з інтегральних визначень функції Бесселя.

0 \leq θ \leq π

$0\le\theta \le\pi$

— David Z

Отже, ваше запитання: Дано загальні квадратурні формули

точок

на

, це

N

$N$

Q_{\infty}^{N} [\cdot]

$Q_\infty^N[\cdot]$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Q_{π}^{N} [\cdot]

$Q_\pi^N[\cdot]$

[0, π]

$[0,\pi]$

гірше або краще, ніж

Q_{\infty}^{N \cdot M} [f J_{0}]

$Q^{N\cdot M }_\infty[f\,J_0]$

Q_{π}^{M} [Q_{\infty}^{N} [f (x) \cos (x \sin θ)]]

$Q^M_\pi[Q_\infty^N[f(x)\,\cos(x\sin\theta)]]$

— Стефано М

@StefanoM так, саме так.

— David Z

FWIW, один з найефективніших методів оцінки функції Бесселя нульового порядку - це трапецієподібне правило, яке, як відомо, дає дуже точні результати при інтеграції періодичних інтегратів протягом одного періоду (навіть краще, ніж звичайна стандартна гауссова квадратура). Отже: це може допомогти, а може і не.

— JM

Я не думаю, що це має значення. Ви повинні вибрати досить високу квадратуру для інтеграла над щоб вона дорівнювала функції Бесселя . У наведеному нижче прикладі я вибрав порядок 20, але ви завжди повинні робити конвергенцію щодо точної функції та інтервалу, через який ви інтегруєтесь. Тоді я зробив конвергенцію з , порядком квадратури Гаусса інтеграла над . Я вибрав і використовую домен , ви можете змінити $\theta$ $J_0$ $n$ $x$ $f(x) = e^{-x} x^2$ $[0, x_\text{max}]$ $x_\text{max}$ нижче. Я отримав:

 n      direct         rewritten
 1  0.770878284949  0.770878284949
 2  0.304480978430  0.304480978430
 3  0.356922151260  0.356922151260
 4  0.362576361509  0.362576361509
 5  0.362316789057  0.362316789057
 6  0.362314010897  0.362314010897
 7  0.362314071949  0.362314071949
 8  0.362314072182  0.362314072182
 9  0.362314072179  0.362314072179
10  0.362314072179  0.362314072179

$n=9$

Ось код:

from scipy.integrate import fixed_quad
from scipy.special import jn
from numpy import exp, pi, sin, cos, array

def gauss(f, a, b, n):
    """Gauss quadrature"""
    return fixed_quad(f, a, b, n=n)[0]

def f(x):
    """Function f(x) to integrate"""
    return exp(-x) * x**2

xmax = 3.

print " n      direct         rewritten"
for n in range(1, 20):
    def inner(theta_array):
        return array([gauss(lambda x: f(x) * cos(x*sin(theta)), 0, xmax, n)
            for theta in theta_array])
    direct = gauss(lambda x: f(x) * jn(0, x), 0, xmax, n)
    rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi
    print "%2d  %.12f  %.12f" % (n, direct, rewritten)

xmax $[0, \infty]$ f(x)rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi

— Ондржей Чертік
джерело

Я підозрюю, що ви праві, мої власні тести показали подібні результати.

— David Z