Неодноразово розв'язуючи

Я використовую MATLAB для вирішення проблеми, яка включає вирішення на кожному кроці, де b змінюється з часом. Зараз я досягаю цього за допомогою MATLAB :$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

У мене є можливість зробити стільки попередніх обчислень, скільки потрібно, тому мені цікаво, чи існує швидший і / або більш точний метод, ніж mldivide. Що зазвичай робиться тут? Дякую всім!

Найбільш очевидне, що ви можете зробити, це попередньо обчислити

[L,U] = lu(A) ~ O (n ^ 3)

Тоді ви просто обчислюєте

x = U \ (L \ b) ~ O (2 n ^ 2)

Це значно знизить вартість і зробить її швидшою. Точність була б однаковою.

Ми провели декілька обширних комп'ютерних лабораторій на наших наукових курсах з обчислень на цю тему. Для "невеликих" обчислень, які ми робили там, оператор зворотної косої лінії Matlab завжди був швидшим за будь-що інше, навіть після того, як ми максимально оптимізували свій код і заздалегідь відредагували всі матриці (наприклад, із замовленням Reverse Cuthill McKee для замовлення рідких матриць) .

Ви можете ознайомитися з однією з наших інструкцій лабораторії . Відповідь на ваше запитання міститься (скоро) на сторінці 4.

Хорошу книгу на цю тему написав, наприклад, Чейні .

$A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

$O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

$A^{-1}$$LU$$m>125$

Деякі примітки

Щоб дізнатися про стабільність та аналіз помилок, будь ласка, дивіться коментарі до цієї різної відповіді , особливо відповіді VictorLiu.

$m\ll n$

Синхронізацію проводили за допомогою Matlab R2011b на 12-ядерному комп'ютері із досить постійним середнім навантаженням UNIX 5; найкращий tic, tocчас з трьох зондів.

Погляньте на це питання , відповіді показують, що mldivideце досить розумно, а також дає пропозиції щодо того, як бачити, що Matlab використовує для вирішення A\b. Це може дати вам підказку щодо варіантів оптимізації.

Використання зворотної косої риси більш-менш еквівалентно inv(A)*B, якщо ви кодуєте її вільно, остання може бути більш інтуїтивно зрозумілою. Вони приблизно однакові (просто різні в тому, як проводяться обчислення), хоча вам слід перевірити документацію Matlab для уточнення.

Щоб відповісти на ваше запитання, зворотна косої риси, як правило, добре, але це залежить від властивостей матриці маси.