Мені цікаво вирішити рівняння Пуассона за допомогою підходу з кінцевою різницею. Я хотів би краще зрозуміти, як написати матричне рівняння з граничними умовами Неймана. Хтось перегляне наступне, чи правильно?
Матриця з кінцевою різницею
Рівняння Пуассона,
можна наблизити за допомогою матричного рівняння з кінцевою різницею,
де - матриця а та - (стовпець) векторів, п × п у d 1 × N
Додавання граничної умови Неймана
Гранична умова Неймана примушує потік знань на межі (тут ми застосовуємо його в лівій частині, де межа знаходиться при ),
NB. Я спочатку помилився тут, підписав помилку і не ділив на 2. Наступне було виправлено.
Зверніть увагу на введення точки сітки поза вихідним доменом ( ). Цей термін можна усунути, ввівши друге рівняння, u 0 - 2 u 1 + u 2
Рівняння має більшу інформацію через введення нової точки сітки. Це дозволяє нам записати подвійну похідну як границю з точки зору використовуючи центральну кінцеву різницю.u 0
Частина, в якій я не впевнений
Об'єднавши ці два рівняння можна усунути. Щоб показати робочий, давайте спочатку заздалегідь влаштуємо невідоме,
Далі вони встановлюються рівними і переставляються у форму,
Я вибрав цю форму, тому що вона є такою ж формою, як матричне рівняння вище. Зауважте, що терміни діляться на і тут, і в початковому рівнянні. Це правильний підхід?( Δ x ) 2
Нарешті, використовуючи це рівняння як перший рядок матриці,
Кінцеві думки,
- Чи правильна ця заключна матриця?
- Чи міг би я скористатися кращим підходом?
- Чи існує стандартний спосіб написання цієї матриці?