Запис рівняння Пуассона з кінцевою різницею матрицею з граничними умовами Неймана

Мені цікаво вирішити рівняння Пуассона за допомогою підходу з кінцевою різницею. Я хотів би краще зрозуміти, як написати матричне рівняння з граничними умовами Неймана. Хтось перегляне наступне, чи правильно?

Матриця з кінцевою різницею

Рівняння Пуассона,

\frac{\partial^{2} у (х)}{\partial х^{2}} = г (х)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

можна наблизити за допомогою матричного рівняння з кінцевою різницею,

\frac{1}{(Δ x)^{2}} M ∙ \hat{u} = \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

де - матриця а та - (стовпець) векторів, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Кінцево-різницька матриця рівняння Пуассона

Додавання граничної умови Неймана

Гранична умова Неймана примушує потік знань на межі (тут ми застосовуємо його в лівій частині, де межа знаходиться при ), $x=0$

\frac{\partial у (х = 0)}{\partial х} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$ записує цю граничну умову як центральну кінцеву різницю,

Помилка рівняння. NB. Я спочатку помилився тут, підписав помилку і не ділив на 2. Наступне було виправлено.

\frac{у_{2} - у_{0}}{2 Δ х} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

Зверніть увагу на введення точки сітки поза вихідним доменом ( ). Цей термін можна усунути, ввівши друге рівняння, $u_0$

\frac{у_{0} - 2 у_{1} + у_{2}}{(Δ х)^{2}} = г_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

Рівняння має більшу інформацію через введення нової точки сітки. Це дозволяє нам записати подвійну похідну як границю з точки зору використовуючи центральну кінцеву різницю. $u_1$ $u_0$

Частина, в якій я не впевнений

Об'єднавши ці два рівняння можна усунути. Щоб показати робочий, давайте спочатку заздалегідь влаштуємо невідоме, $u_0$

u_{0} = - 2 σ Δ x + u_{2} u_{0} = (Δ x)^{2} d_{1} + 2 u_{1} - u_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

Далі вони встановлюються рівними і переставляються у форму,

\frac{u_{2} - u_{1}}{(Δ x)^{2}} = \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ x}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

Я вибрав цю форму, тому що вона є такою ж формою, як матричне рівняння вище. Зауважте, що терміни діляться на і тут, і в початковому рівнянні. Це правильний підхід? $u$ $(\Delta x)^2$

Нарешті, використовуючи це рівняння як перший рядок матриці,

Рівняння Пуассона з крайовою умовою Неймана з лівої сторони (виправлено)

Кінцеві думки,

Чи правильна ця заключна матриця?
Чи міг би я скористатися кращим підходом?
Чи існує стандартний спосіб написання цієї матриці?

— boyfarrell
джерело

У вашому обчисленні є дві помилки: кінцева різниця по центру має бути поділена на . По-друге, також помиляється, оскільки мінус повинен бути плюсом.

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

— vanCompute

Це досить добре розроблено в тексті кінцевої різниці Левека , глава 2.

— Девід Кетчесон,

Ці питання також добре пояснені в sciencepython.net/1/post/2013/01/…

— Євгеній Сергєєв,

Ви можете побачити цей scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

— usumdelphini

Відповіді:

Я думаю, ви на правильному шляху. Якщо ви виправите свої помилки, це буде схоже на http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf .

— vanCompute
джерело

Дякую за коментарі та виправлення. Я оновив своє запитання з виправленнями. Я вважаю, що це зараз правильно.

— boyfarrell

$u_0$

Відступіться і подумайте про проблему на секунду. Вказуючи рівняння Лапласа, принципово сказано, що кожна точка є середнім значенням її сусідів. Зазвичай це візуалізується як гумовий лист, і допомагає мені думати про ці речі. (Пуассон схожий з більш / менш еластичними точками)

Коли ви визначаєте значення поверхні розчину в самих крайніх краях, ви "забиваєте" лист в просторі в цих точках. Коли ви визначаєте аркуш по його похідній на краях, існує будь-яка кількість рішень, які виконують рівняння, яке переводить аркуш у простір, зберігаючи однакову фактичну форму і, отже, похідні.

$u_0 = 0$

— meawoppl
джерело

Отже, як правило, рівняння Пуассона вирішується принаймні однією граничною умовою Діріхле, щоб було знайдено унікальне рішення? Я думаю, має сенс, що граничні умови Неймана мають сенс лише тоді, коли включені джерело і раковини, інакше існує нескінченна кількість рішень. Однак якщо я замість цього візьму рівняння дифузії, для правильної фізики потрібні граничні умови Неймана (наприклад, відсутність потоку величини через межу, коли du / dx = 0). Це мене справді цікавить. Чи є вищевказаний метод правильним підходом до застосування BC Neumann?

— boyfarrell

Не можна застосовувати BC Neumann з усіх боків вашої паперової сторони. Якщо ви це зробите, у вас не буде унікального рішення. Його потрібно приколоти хоча б на одну сторону.

— vanCompute

@meawoppl: Як можна вказати фіксовану точку, роблячи також вирішення прямої матриці?

— jvriesem

Зазвичай просто присвоєння точки константі шляхом встановлення лише одного члена підряд 1, решта нуля та значення на РЧС, що відповідає площині рішення, яку ви хочете бачити.

— meawoppl