Дивні коливання при вирішенні рівняння адвекції кінцевою різницею з повністю закритими граничними умовами Неймана (відбиття на межах)

Я намагаюся вирішити рівняння адвекції, але у рішенні виникають дивні коливання, коли хвиля відбивається від меж. Якщо хтось бачив цей артефакт раніше, мені було б цікаво дізнатися причину та як її уникнути!

Це анімований gif, відкритий у окремому вікні для перегляду анімації (він буде грати лише один раз чи не відразу, коли він був кешований!)

Зауважте, що розповсюдження здається дуже стабільним, поки хвиля не почне відбиватися від першої межі. Як ви думаєте, що може статися тут? Я провів кілька днів, перевіряючи свій код, і не можу знайти жодних помилок. Це дивно, оскільки, здається, є два пропагуючих рішення: одне позитивне та одне негативне; після відображення від першої межі. Здається, рішення подорожують по сусідніх точках сітки.

Деталі щодо впровадження наступні.

Рівняння адвекції,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

де - швидкість поширення.$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson - це безумовна (pdf-посилання) стабільна дискретизація рівняння адвекції, якщо повільно змінюється в просторі (містить лише компоненти низької частоти при перетворенні Фур'є).$u(x)$

Я застосував дискретизацію,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Поставлення невідомих праворуч дозволяє записати це у лінійній формі,

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

де (прийняти середній час рівномірно зваженого між теперішньою та майбутнім точкою) і .$\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

Ці множини рівнянь мають матричну форму , де,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Вектори і - це відома і невідома кількість, яку ми хочемо вирішити.$u^n$$u^{n+1}$

Потім я застосовую закриті граничні умови Неймана на лівій і правій межі. Під закритими межами я маю на увазі на обох інтерфейсах. Для замкнутих меж виявляється, що (я не буду показувати свою роботу тут) нам просто потрібно вирішити вищевказане матричне рівняння. Як вказував @DavidKetcheson, наведені вище матричні рівняння фактично описують граничні умови Діріхле . Для граничних умов Неймана$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Оновлення

Поведінка здається досить незалежною від вибору констант, які я використовую, але це значення для графіку, який ви бачите вище:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0,2
• dt = 0,005
• $\sigma$ = 2 (гауссова hwhm)
• $\beta$ = 0,5

Оновлення II

Моделювання з ненульовим коефіцієнтом дифузії, (див. Коментарі нижче), коливання минає, але хвиля вже не відбивається! Я не розумію, чому?$D=1$

Рівняння, яке ви розв'язуєте, не допускає правильних рішень, тому немає такого поняття, як відображаюча гранична умова цього рівняння. Якщо врахувати характеристики, ви зрозумієте, що обмежувати умову можна лише на правій межі. Ви намагаєтесь встановити однорідну граничну умову Діріхле на лівій межі, що є математично недійсним.

Для того, щоб знову заявити: метод характеристик говорить про те , що рішення має бути постійним уздовж будь-якої лінії виду для будь-якої константи . Таким чином, рішення вздовж лівої межі визначається рішенням у більш ранні часи всередині вашої проблемної області; ви не можете нав'язувати там рішення.$x-\nu t = C$$C$

В відміну від рівняння, ваша чисельна схема має визнати правої йдуть рішення. Праві режими називають паразитичними режимами і передбачають дуже високі частоти. Зауважте, що правильна хвиля - це пакет пилових хвиль, пов'язаний з найвищими частотами, які можуть бути представлені у вашій сітці. Ця хвиля - це суто числовий артефакт, створений вашим розсудом.

Наголос: ви не записали повну початкову граничну задачу, яку ви намагаєтеся вирішити. Якщо ви зробите це, буде зрозуміло, що це не математично добре поставлена ​​проблема.

Я радий, що ви опублікували це тут, хоча це прекрасна ілюстрація того, що може статися, коли ви вирішите дискретизувати проблему, яка недостатньо поставлена, і феномен паразитарних способів. Великий +1 для вашого запитання від мене.

Я багато чого навчився з наведених вище відповідей. Я хочу включити цю відповідь, тому що я вважаю, що вона пропонує різні уявлення про проблему.

Розглянемо рівняння з постійною хвилею .

Без початкових та граничних умов це рівняння має рішення виду . (пульс рухається праворуч)$u(x,t)=f(x-ct)$

Якщо ми нав'язуємо початкову умову , то рішення рівняння в інтервалі - . Межі немає, і це рішення.$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

Тепер припустимо, що ми визначаємо обмежений домен після того, як усі комп'ютери мають обмежену пам’ять. Потім нам потрібно вказати значення на і , інакше обчислювально ми застрягли.$x \in [a,b]$$a$$b$

Одним із способів визначення граничних умов є використання Діріхле на лівій межі та умова, яка відповідає рішенню, що розповсюджується. Тобто ми можемо визначити (припустимо початковий час ) $t_0$

Це створює імпульс, що працює праворуч, поки він не зникне на правому краю.

натисніть сюди для анімації на Діріхле на лівій межі

Я все ще чую шум, який я не можу зрозуміти (хто-небудь може допомогти тут, будь ласка?)

Інший варіант - накладення періодичних граничних умов. Тобто замість того, щоб наводити граничну умову Діріхле зліва, ми можемо накласти хвильовий пакет, що відповідає межі зліва. Це є:

Однак для і , і оскільки нам потрібно помістити дані всередину інтервалу ми додаємо один "період" довжини а потім знаходимо , так що умова зліва буде (те саме!), і у нас буде імпульс, що виходить на праворуч і вхід зліва.$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

Це посилання показує, що я б назвав періодичними граничними умовами.

Я зробив анімації в python, і схема є схемою Crank-Nicholson, як зазначено в питанні тут.

Я все ще бореться зі схемою шуму після того, як хвиля потрапляє на перший (правий) кордон.