Добре поставлена ​​задача лінійної пружності з періодичними граничними умовами

Для певних застосувань, таких як стаціонарний теплообмін і потік у пористих середовищах, можна імітувати набагато більшу (нескінченну) область, накладаючи періодичні граничні умови на протилежних граничних гранях та дирихлетах на інших межах. Для 2D прямокутного домену періодичну умову можна інтерпретувати так, ніби домен лежить на поверхні циліндра.

Мені цікаво, чи можна сказати те саме про проблеми з еластичністю. Я помітив, що стандартні проблеми лінійної еластичності обмежуються обмеженими доменами, і я ніколи не бачив приклад, коли прописана або реалізована періодична межа. Я підозрюю, що можуть виникнути проблеми з унікальністю вирішення цієї проблеми внаслідок жорсткого руху тіла (перекладу та / або обертання), викликаного періодичністю.

Для простоти припустимо випадок лінійної ізотропної плоської пружності на 2D прямокутній області. Скажімо, я хочу моделювати велике (періодичне) середовище, використовуючи умови фіксованого переміщення (диріхлету) на двох протилежних межах та умови періодичного переміщення на решти меж.

Чи добре поставлена ​​проблема? Якщо ні, то чи можу я використовувати стратегії (наприклад, додаткові обмеження), щоб зробити це добре поставленим, знаючи, що моя кінцева мета - імітувати набагато більшу (нескінченну) середовище з властивостями матеріалу, що повторюється?

Приклад, який ви даєте, добре поставлений. Нерівність Корна справедлива, якщо підмножина, за якою фіксується зміщення, містить відкриту (в топології кордону) підмножину кордону, що вірно у вашому випадку.

Простий тест такий: якщо ви встановите жорстке тіло на своїй межі Діріхле, чи його все-таки можна перемістити. Наприклад, якщо ви фіксуєте точку в двох вимірах, ваш об'єкт може обертатися навколо неї. Якщо ви фіксуєте точку чи лінію в 3 вимірах, те саме.

Якщо, врешті-решт, потрібно періодичні граничні умови в $x$ і $y$напрямках, вам доведеться накласти додаткове обмеження, наприклад, що середнє значення переміщення по всьому прямокутнику дорівнює нулю. Можливо, вам доведеться також усунути обертання.