Чому точки з рівними відстаньми поводяться погано?

24

Опис експерименту:

В інтерполяції Лагранжа точне рівняння відбирається в $N$ точках (поліноміальний порядок $N - 1$ ) і інтерполюється в 101 бал. Тут $N$ змінюється від 2 до 64. Щоразу, коли підготуються графіки помилок $L_1$ , $L_2$ і $L_\infty$ . Видно , що, коли функція дискретизируются на равноразнесенние точках, помилка спочатку падає (це відбувається до $N$ менше , ніж приблизно 15 або близько те ) , а потім помилки йде вгору при подальшому збільшенні $N$ .

Оскільки, якщо початкова вибірка проводиться в точках Легендр-Гаус (LG) (коріння поліномів Лежандра) або точках Легендр-Гаус-Лобата (LGL) (коріння поліномів Лобата), помилка падає на машинний рівень і не збільшуються при подальшому збільшенні $N$

Мої запитання:

Що саме відбувається у випадку рівновіддалених точок?

Чому збільшення поліноміального порядку викликає зростання помилки після певної точки?

Чи це також означає, що якщо я використовую рівномірно розташовані точки для реконструкції WENO / ENO (використовуючи поліноми Лагранжа), то в гладкій області я отримаю помилки? (ну, це лише гіпотетичні запитання (наскільки я розумію), насправді недоцільно реконструювати поліном порядку 15 або вище за схемою ВЕНО)

Додаткові дані:

Функція наближена:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ поділено на $N$ зрівняних (а пізніше LG) точок. Функція щоразу інтерполюється у 101 бал.

Результати:

а) Рівновіддалені точки (інтерполяція для $N = 65$ ):

введіть тут опис зображення

б) Рівнорозміщені точки (графік помилок, масштаб журналу):

введіть тут опис зображення

а) точки LG (Інтерполяція для $N = 65$ ):
б) точки LG (графік помилок, масштаб журналу):

введіть тут опис зображення

— Subodh
джерело

26

Проблема з одинаковими точками полягає в тому, що поліном помилки інтерполяції, тобто

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

$x_i$

Якщо ви використовуєте точки Гаусса-Лежандра, поліном помилки поводиться значно краще, тобто він не вибухає по краях. Якщо ви використовуєте вузли Чебишева , цей многочлен зрівняється і помилка інтерполяції мінімальна.

— Педро
джерело

6

В книзі Джона П. Бойда Чебишева та Спектральних методів Фур'є є досить детальне пояснення , де поліноми помилки інтерполяції Педро також є поясненими (німецька глава 4.2).

— Борт

Дякую. Також константа Лебега для вищезгаданих варіантів поводиться по-різному. Для рівновіддалених точок константа Лебега зростає експоненціально, тоді як для LG, LGL, Чебишева вона насичується ростом n. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , але питання щодо числової реалізації все ще залишається ...

— Subodh

Вибачте, я мало знаю про ENO / WENO. Але я не очікую проблем у гладкій області для інтерполяцій низького порядку, хоча квадратурні вузли, безумовно, кращий вибір з очевидних причин.

— Борт

22

Це дійсно цікаве запитання, і можливих пояснень існує маса. Якщо ми намагаємось використати поліноміальну інтерполяцію, то зауважимо, що поліном задовольняє наступну дратівливу нерівність

$P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

для кожного . Це відоме як нерівність Бернштейна , зауважте особливість цієї нерівності. Це може бути обмежено нерівністю Маркова $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

і зауважте, що це різко в тому сенсі, що поліноми Чебішева роблять це рівнянням. Отже, іншими словами, ми маємо наступну комбіновану межу.

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

Що це означає: Градієнти многочленів ростуть лінійно у своєму порядку скрізь, за винятком невеликих сусідств інтервальних меж. На межах вони зростають більше, як . Не випадково всі стабільні вузли інтерполяції мають кластеризацію біля меж. Кластеризація необхідна для контролю градієнтів основи, тоді як поблизу середньої точки можна трохи розслабитися. $N^2$ $1/{N^2}$

Однак виявляється, що це необов'язково поліноміальні явища, я пропоную наступний документ:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/previd.pdf

Це вільно говорить: Якщо у вас однакова потужність апроксимації полінома, то ви не можете стабільно використовувати однаково розташовані точки.

— Рід.Атчесон
джерело

1

Проблема не однаково розташованих точок . Саме проблема полягає в глобальній підтримці функціонування бази, а також однаково розташованих точок. Ідеально добре кондиціонований інтерполянт, що використовує однаково розташовані точки, описаний у Чисельному аналізі Кресса з використанням функцій основи кубічного b сплайна компактної опори.

— користувач14717
джерело

звичайно, але тоді ваш інтерполянт не буде глобально рівним ( для вашого прикладу лише )

C^{2}

$C^2$

— GoHokies

@GoHokies: ітеративна згортка може бути зроблена настільки ж гладкою, наскільки це хочеться. Який випадок використання інтерполяції ?

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— користувач14717

справедлива точка. ("положення-швидкість-прискорення") вистачає для більшості застосувань. ви можете захотіти для деяких проблем з граничними значеннями, але не можете придумати жоден звичайний випадок використання вище цього.

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies

1

Що саме відбувається у випадку рівновіддалених точок?

Чому збільшення поліноміального порядку викликає зростання помилки після певної точки?

Це схоже на явище Рунге, коли з оснащеними вузлами помилка інтерполяції переходить до нескінченності зі збільшенням ступеня полінома, тобто кількості точок.

Одне з коренів цієї проблеми можна знайти в константі Лебега, як зазначається в коментарі @ Subodh до відповіді @Pedro. Ця константа пов'язує інтерполяцію з найкращим наближенням.

Деякі позначення

У нас є функція для інтерполяції над вузлами . У інтерполяції Лагранжа визначені поліноми Лагранжа : $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

при цьому визначається інтерполяційний поліном над парами для легкого позначення $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

Тепер розглянемо збурення над даними, це може бути, наприклад, для округлення, тому у нас є . При цьому новий многочлен : $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

Оцінки помилок:

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

Тепер константу Лебега можна визначити як: $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

При цьому остаточні оцінки:

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

(гранична примітка, ми дивимось лише норму також тому, що ми перебуваємо над простором кінцевої міри, тому ) $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

З наведеного вище обчислення ми отримали, що є: $\Lambda_n$

незалежно від дати:
залежить лише від розподілу вузлів;
показник стабільності (чим він менший, тим він кращий).

Це також норма оператора інтерполяції щодо норма . $|| \cdot||_\infty$

Через наступну теорему ми отримали оцінку помилки інтерполяції з постійною Лебега:

Нехай і як вище, маємо де - помилка найкращим наближенням $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

Тобто, якщо невелика, помилка інтерполяції не далека від помилки найкращого рівномірного наближення і теорема порівнює помилку інтерполяції з найменшою можливою помилкою, що є помилкою найкращого рівномірного наближення. $\Lambda_n$

Для цього поведінка інтерполяції залежить від розподілу вузлів. Існує нижня межа про що при розподілі вузлів існує константа така, що: тому константа росте, але як вона росте імпортан. $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

Для обладнань з інтервалом я опустив деякі деталі, але ми бачимо, що зростання є експоненціальним.

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

Для Чебишевих вузлів також тут я опустив деякі деталі, є більш точні та складні оцінки. Докладніше див. У розділі [1]. Зауважимо, що вузли родини Чебишевих мають логарифмічний ріст, і за попередніми оцінками, це майже найкраще, що можна отримати.

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

Для інших розподілів вузлів див., Наприклад, таблицю 1 цієї статті .

У книзі про інтерполяцію є багато посилань. Он-лайн ці слайди приємні як резюме.

Також ця відкрита стаття ([1])

Числове порівняння інтерполяції семи сіток для многочлена на інтервалі для різних порівнянь.

— Мауро Ванцетто
джерело

1

Добре бути в курсі інтерполянтів Floater-Hormann, коли вам доведеться (або хочете) працювати з рівновіддаленими точками . $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

З огляду на ціле число з , нехай - поліноміальний інтерполянт . Тоді інтерполянт FH функції при має вигляд $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

з "функціями змішування"

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

Деякі властивості цих інтерполянтів:

вони є баріцентричними раціональними інтерполянтами без реальних полюсів ;
досягти довільних порядків наближення для , незалежно від розподілу точок; ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
дещо схожі на сплайни, оскільки вони змішують (локальні) поліноміальні інтерполянти з функцією , яка виконує функції змішування; $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
вони відтворюють поліноми ступеня не більше (або якщо непарних); $d$ $d+1$ $n-d$
може бути написана барицентричною формою (див. розділ 4 Floater та Hormann's paper).

Caveat emptor : Як і очікувалося (див. Статтю, на яку посилається @ Reid.Atcheson), збільшення швидко погіршує процес кондиціонування. $d$

Існує деяка досить недавня робота Клейна, щоб полегшити цю проблему. Він змінив оригінальний підхід Floater-Hormann, додавши нових значень даних, що відповідають точкам поза вихідним інтерполяційним інтервалом побудованим з плавного розширення назовні використовуючи лише дані . Цей "глобальний" набір даних потім інтерполюється новою раціональною функцією FH і оцінюється лише всередині . $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

Деталі чітко викладені в статті Клейна (зв'язана нижче), де показано, що ці розширені раціональні інтерполянти мають константи Лебега, які зростають логарифмічно з і (тоді як для початкової схеми FH зазначений ріст експоненціальний у , див. Bos та ін. ). $n$ $d$ $d$

Бібліотека Chebfun використовує інтерполянти FH при формуванні chebfunsнерівномірних даних, як пояснено тут .

Список літератури:

М. С. Флотер та К. Горман, Барицентрична раціональна інтерполяція без полюсів і високих темпів наближення, Numerische Mathematik 107 (2007).

Г. Кляйн, Розширення сімейства плавців – Горманів барицентричних раціональних інтерполянтів, Математика обчислень , 82 (2011) - препринт

Л. Бос, С. Де Марчі, К. Горман, Г. Кляйн, Про константу Лебега барицентричної раціональної інтерполяції на рівновіддалених вузлах, Число. Математика. 121 (2012)

— GoHokies
джерело