Ітераційні методи для невизначених систем без блокової структури

9

Невизначені системи матриць з'являються, наприклад, при розрізненні задач точки сідла змішаними кінцевими елементами. Потім матрицю системи можна поставити у форму

(\begin{matrix} А & Б^{т} \\ Б & С \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$

де $A$ негативний (напів) -дефініт, $C$ позитивний (напів-) визначений і $B$ - довільний. Звичайно, залежно від умовності ви можете використовувати умови визначеності, але це в значній мірі структура цих матриць.

Для цих методів може бути використаний метод Узави, який насправді є лише "хитрістю" перетворення системи в еквівалентну напіввизначену систему, яку можна вирішити за допомогою Conjugate Gradient, Gradient Descent тощо.

Я стикаюся з невизначеною системою, яка не має такої структури блоку. Методи типу Uzawa в цьому випадку не застосовуються. Мені відомо про метод мінімальних залишків (MINRES), який було введено компанією Paige & Saunders, який є лише триденною рекурсією і, здається, легко здійснити.

Запитання: Чи взагалі є хорошим вибором для сканування прототипів MINRES? Чи має це якесь практичне значення? Попередня підготовка наразі не є центральним питанням.

linear-algebra iterative-method

— шухало
джерело

Чи можете ви сказати трохи більше про те, що робить ваші матриці особливими? Наприклад, з якої проблеми вона виникає? Чи є до неї якийсь інший тип структури? І т. Д.

— Білл Барт

Я залишив це навмисно порожнім, щоб отримати найбільш загальну відповідь (відверто кажучи, це неявно передбачає, що є задовольняюча загальна відповідь). Але приклад із рівнянням Гельмгольца нижче - це те, що я мав на увазі.

— шухало

7

Якщо вас не турбує попередня підготовка, то MINRES - це стандартний вибір. Однак майте на увазі, що MINRES вимагає симетричного позитивного певного передумовника.

Якщо ви переймаєтесь попередньою підготовкою, то важливо врахувати структурні відмінності між більшістю проблем з точкою сідла та загальними невизначеними проблемами. Більшість проблем з точкою сідла виникають при вирішенні еліптичних задач з обмеженнями, примусовими множниками Лагранжа. Несприйнятливість та обмеження контактів - поширені приклади. Для таких проблем оператор примушує до підпростору, в якому задовольняється обмеження, з функціями Гріна, які швидко розпадаються. Такі проблеми можна ефективно вирішити за допомогою блокових попередніх кондиціонерів (попередньо обумовлена Uzawa є членом цього сімейства), мультирешітки із сумісними плавнішими (наприклад, Vanka або на основі блокової декомпозиції) або багаторівневого розкладання домену з відповідними локальними та грубими проблемами.

Прототиповим прикладом невизначеної задачі, яка не є проблемою сідла, є рівняння Гельмгольца

- \nabla \cdot (а \nabla у) - к^{2} у = f

$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$

де рівномірно обмежена вище і знизу позитивними константами. Для великого, функції Гріна сильно коливальні , що робить предобусловліваніе (і дискретизація) важко. Два обґрунтовані підходи - це підготування попередніх кондиціонерів, заснованих на ідеально підібраних шарах та "мультирешітці хвильових променів", як описано у відповідях на це питання . На жаль, ці методи є доволі звичними для конкретного рівняння та технічних для реалізації. $a(x)$ $k$

— Джед Браун
джерело

1

Якщо бути справедливим, хоча підмітальні кондиціонери, безумовно, є технічними для паралельної реалізації, ідея не характерна для Гельмгольца; головна вимога - поглинаюча гранична умова (наприклад, ідеально збігані шари).

— Джек Поульсон

3

Пов'язане питання, яке може зацікавити: « Яких правил слід дотримуватися при виборі розрідженої лінійної системи вирішення? , хоча в цьому випадку вас зацікавили б лише ітераційні методи. Моє розуміння ітеративних методів полягає в тому, що конвергенція для будь-якого даного методу сильно залежить від спектра вашої матриці. Незважаючи на те, що ви не можете скористатися методом Узави, ви все одно можете спробувати GMRES, стабілізований градієнт Biconjugate, MINRES, квазі-мінімальний залишковий метод та інші ітераційні методи, що застосовуються до невизначених матриць.

Якщо кодування різних методів викликає занепокоєння, ви можете викликати вирішувачі у своєму алгоритмі, використовуючи бібліотеку типу PETSc , яка реалізує різноманітні ітеративні лінійні рішення.

— Джефф Оксберрі
джерело

1

MINRES - найкращий вибір для подібного типу проблем.

— Kees Vuik
джерело

1

Будь ласка, не пов'язуйте свій особистий сайт таким чином. Не соромтеся зв’язувати конкретні ресурси, відповідні вашій відповіді, але не пов'язуйте свій особистий сайт таким чином. Я відмовився від цієї відповіді. Такі посилання належать у вашому профілі користувача.

— Джед Браун

Не могли б ви детальніше розібратися, чому MINRES - найкращий вибір для такого типу проблем? Додавання більш детальної інформації допоможе зробити вашу відповідь кориснішою для громади та допоможе вам отримати більше голосів.

— Джефф Оксберрі