Швидкість конвергенції розв'язувача FFT Poisson

Який теоретичний коефіцієнт конвергенції для вирішувача FFT Poison?

Я розв'язую рівняння Пуассона: з

\nabla^{2} V_{Н} (х, у, z) = - 4 π н (х, у, z)

$\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)$

на домені

з періодичною граничною умовою. Ця щільність заряду є нейтральною. Розв’язок задається:

н (х, у, z) = \frac{3}{π} ((х - 1)^{2} + (у - 1)^{2} + (z - 1)^{2} - 1)

$n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)$

[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]

$[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$

де

. У зворотному просторі

V_{Н} (х) = \int \frac{н (у)}{| х - у |} г^{3} у

$V_H({\bf x}) = \int {n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 y$

x = (x, y, z)

${\bf x}=(x, y, z)$

де

- вектори зворотного простору. Мене цікавить енергія Хартрі:

V_{Н} (Г) = 4 π \frac{н (Г)}{Г^{2}}

$V_H({\bf G}) = 4\pi {n({\bf G})\over G^2}$

G

${\bf G}$

У зворотному просторі це стає (після дискретизації):

Е_{Н} = \frac{1}{2} \int \frac{н (х) н (у)}{| х - у |} г^{3} х г^{3} у = \frac{1}{2} \int V_{Н} (х) н (х) г^{3} х

$E_H = {1\over 2} \int {n({\bf x}) n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 x d^3 y = {1\over 2} \int V_H({\bf x}) n({\bf x}) d^3 x$

Термін

опущений, що ефективно робить щільність заряду чистою нейтральною (а оскільки вона вже нейтральна, то все узгоджується).

Е_{Н} = 2 π \sum_{Г \neq 0} \frac{| н (Г) |^{2}}{Г^{2}}

$E_H = 2\pi \sum_{{\bf G}\ne 0} {|n({\bf G})|^2\over G^2}$

G = 0

${\bf G}=0$

Е_{Н} = \frac{128}{35 π} = 1.16410 ...

$E_H = {128\over 35\pi} = 1.16410...$

Ось програма з використанням NumPy, яка робить розрахунок.

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

А ось графік конвергенції (просто побудуйте графік conv.txtз вищевказаного сценарію, ось ноутбук, який робить це, якщо ви хочете грати з цим самостійно):

Графік конвергенції FFT

Як бачите, конвергенція лінійна, що було для мене несподіванкою, я думав, що FFT конвергується набагато швидше, ніж це.

Оновлення :

Рішення має зусилля на кордоні (я цього раніше не усвідомлював). Для того щоб FFT швидко конвергувався, рішення повинно мати всі похідні гладкими. Тому я також спробував наступну праву частину:

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

$V_H=\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)$ $E_H = \frac{3\pi}{8}$

Хтось знає якийсь тест у 3D, щоб я міг бачити швидше конвергенцію, ніж лінійний?

— Ондржей Чертік
джерело

Ондрей, чи не перетворення Фур'є вашої гладкої щільності є дельта-функцією? Зізнаюся, я лінувався запускати це, але слід отримати точну відповідь з першої спроби.

— Метт Кнеплі

Я думаю це. Але це не збігається за одну ітерацію, як видно із сюжетів ноутбука. Я поняття не маю, що відбувається.

— Ondřej Čertík

Ондрей, ти впевнений, що реалізація правильна? Я пам’ятаю, як намагався реалізувати спектральні розв'язувачі для виконання домашніх завдань у середній школі та повністю махав постійними. Я помічаю, що ви вимірюєте помилку, дивлячись на абсолютну відстань між обчисленою та точною енергією. Як виглядає ваша конвергенція щодо фактичного вирішення проблеми? Це має бути легко обчислити і навіть скласти графік над двовимірним фрагментом проблеми.

— Арон Ахмадія

Арон --- Я перевірив свою реалізацію на якомусь іншому коді, але перевіряв його на неправильну початкову вибірку, тому в обох кодах була однакова помилка. Метт мав рацію, тепер він сходиться з першої спроби. Дивіться мою відповідь нижче.

— Ondřej Čertík

Дозвольте спочатку відповісти на всі питання:

Який теоретичний коефіцієнт конвергенції для вирішувача FFT Poison?

Теоретична конвергенція експоненціальна до тих пір, поки рішення буде досить гладким.

Наскільки швидко ця енергія повинна сходитися?

Енергія Хартрі $E_H$ повинні сходитися експоненціально для досить гладкого рішення. Якщо розчин менш гладкий, то конвергенція повільніше.

Хтось знає якийсь тест у 3D, щоб я міг бачити швидше конвергенцію, ніж лінійний?

Будь-яка права сторона, яка виробляє рішення, яке є періодичним і нескінченно диференційованим (у тому числі через межу періодичного періоду), має сходитися експоненціально.

У наведеному вище коді трапляється помилка, яка призводить до того, що конвергенція буде повільнішою, ніж експоненціальна. Використовуючи код гладкої щільності ( https://gist.github.com/certik/5549650/ ), наступний патч виправляє помилку:

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Проблема полягала в тому, що вибірка реального простору не може повторити першу та останню точку (яка має однакове значення через періодичну граничну умову). Іншими словами, проблема полягала у створенні початкової вибірки.

Після цього виправлення щільність конвергується за одну ітерацію, як сказав Метт вище. Тому я навіть не побудував графіки конвергенції.

Однак можна спробувати більш складну щільність, наприклад:

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

то конвергенція експоненціальна, як і очікувалося. Ось графіки збіжності для цієї щільності: введіть тут опис зображення

— Ондржей Чертік
джерело

Дивовижно. Вибачте, що мені більше не допомогло!

— Арон Ахмадія