Чи дотримується принцип максимального / мінімального рівняння тепла за допомогою дискретизації Кранка-Ніколсона?

10

Я використовую схему кінцевих різниць Кранка-Ніколсона для вирішення 1D рівняння тепла. Мені цікаво, чи справедливий принцип максимального / мінімального рівняння тепла (тобто, що максимум / мінімум виникає при початковій умові або на межах) також для дискретного рішення.

Це, мабуть, має на увазі той факт, що Кранк-Нікольсон є стійкою та конвергентною схемою. Але здається, що ви могли б довести це безпосередньо через аргумент лінійної алгебри, використовуючи матриці, створені з трафарету Кранка-Ніколсона.

Я вдячний за будь-які вказівки до літератури на це. Дякую.

— foobarbaz
джерело

Привіт foobarbaz, і ласкаво просимо до scicomp! Я вважаю, що проблема, яку ви вирішуєте, не має джерела, правда?

— Павло

8

Максимальний принцип для Кранка-Нікольсона буде дотримуватися, якщо для кроку часута відстані сітки. Загалом, ми можемо вважатисхему виду

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

де

- стандартна матриця Лаплаціа, а

. Якщо

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, тоді схема стабільна. (Це легко показати методами Фур'є.) Однак, більш сильний критерій, що

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

потрібно для принципу максимуму в цілому.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Для доказів див. Числові рішення часткових диференціальних рівнянь К. В. Мортона . Зокрема, подивіться на розділи 2.10 та 2.11 та теорему 2.2.

Також є хороший спосіб побачити, що принцип Максиму взагалі не буде дотримуватися для Кранка-Ніколсона без обмеження на . $\mu$

$[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

$u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

У відповідь на прохання foobarbaz я додав ескіз доказу.

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Бен
джерело

Дякую! Чи трапляється вам знати про іншу довідку, окрім Мортона? Я не можу отримати доступ до цих розділів або теореми в попередньому перегляді книг Google. Я хотів би зрозуміти доказ.

— foobarbaz

@foobarbaz У мене немає ще однієї посилання, але я додав контур доказу. Дайте мені знати, чи можу я зробити це зрозумілішим.

— Бен

0

Стійкість означає, що збурення залишаються обмеженими у часі. Це не означає, що принцип максимального задовольняється на дискретному рівні, це вже інше питання. Задоволення принципу дискретного максимуму достатньо, але не потрібно для стабільності.

— Крис
джерело